双曲线是什么？如何绘制双曲线？

导读：" 双曲线是什么？如何绘制双曲线？1.双曲线是一种数学曲线，形状类似于两个平行的直线或曲线相交的形状。它具有许多有趣的性质和应用，在数学、物理学和工程学等领域都有重要的意义。2.双曲线的定义是一个平面上的点，到两个给定点的距离之差为常数。这两个给定点被称为双曲线"

双曲线是什么？如何绘制双曲线？

　　1.双曲线是一种数学曲线，形状类似于两个平行的直线或曲线相交的形状。它具有许多有趣的性质和应用，在数学、物理学和工程学等领域都有重要的意义。

　　2.双曲线的定义是一个平面上的点，到两个给定点的距离之差为常数。

　　这两个给定点被称为双曲线的焦点，常数被称为双曲线的离心率。

　　当离心率小于1时，双曲线是实的；当离心率等于1时，双曲线是抛物线；当离心率大于1时，双曲线是虚的。

　　3.绘制双曲线可以使用数学工具或计算机软件。下面是一种常见的方法：

　　a.首先确定双曲线的焦点和离心率。这些参数决定了双曲线的形状和大小。

　　b.使用直尺和刻度尺在坐标系上画出两条相交的直线，分别表示双曲线的渐近线。渐近线是双曲线的特殊直线，它们与双曲线的曲线交于无穷远处。

　　c.根据双曲线的定义，计算并标记出离焦点的距离。这些点将构成双曲线的曲线。

　　d.使用曲线绘图工具或手绘工具连接标记出的点，绘制出双曲线的曲线部分。

　　4.双曲线具有许多应用，特别是在物理学和工程学领域。例如，在光学中，双曲线被用来描述透镜的形状；在天体力学中，双曲线被用来描述天体的轨道；在电磁学中，双曲线被用来描述电荷的运动轨迹。

　　5.双曲线还在经济学和金融学中有应用。

　　例如，双曲线被用来描述货币的供求关系，以及市场的供给和需求曲线。

　　双曲线模型也被用来描述金融市场的波动和趋势。

　　总之，双曲线是一种有趣且重要的数学曲线，它具有许多应用和意义。

　　绘制双曲线可以使用数学工具或计算机软件，通过确定焦点和离心率，并连接标记出的点来绘制曲线。

　　双曲线在物理学、工程学、经济学和金融学等领域都有广泛的应用。

什么是双曲线?它的画法是怎样的?

双曲线(Hyperbola)是指与平面上两个定点的距离之差的绝对值为定值的点的轨迹,也可以定义为到定点与定直线的距离之比是一个大于1的常数的点之轨迹.双曲线是圆锥曲线的一种,即圆锥面与平面的交截线.

名称定义

我们把平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于一个常数(常数为2a)的轨迹称为双曲线.　（平面内到两定点的距离差的绝对值野旦为定长的点的轨迹叫做双曲线）

即：│PF1-PF2│=2a

定义1：

平面内,到两个定点的距离之差的绝对值为常数（小于这两个定点间的距离[1]）的点的轨迹称为双曲线.定点叫双曲线的焦点.

定义2：平面内,到给定一点及一直线的距离之比为常数e（e>1,即为双曲线的离心率）的点的轨迹称为双曲线.定点叫双曲线的焦点,定直线叫双曲线的准线.双曲线准线的方程为带皮x=±a2/c（焦点在x轴上）或y=±a2/c（焦点在y轴上）.

定义3：一平面截一圆锥面,当截面与圆锥面的母线不平行,且与圆锥面的两个圆锥都相交时,交线称为双曲线.

定义4：在平面直角坐标系中,二元二次方程F(x,y)=ax2 bxy cy2 dx ey f=0满足以下条件时,其图像为双曲线.

1.a、b、c不都是零.

2.b2-4ac>0.

注：第2条可以推出第1条.

在高中的解析几何中,学到的是双曲线的中心在原点,图像关于x,y轴对称的情形.这时双曲线的方程退化为：x2/a2-y2/b2=1.

上述的四个定义是等价的,并且根据建好的前后位置判断图像关于x,y轴对称.

标准方程为：

1、焦点在X轴上蠢脊差时为：

x2/a2-y2/b2=1（a>0,b>0）

2、焦点在Y轴上时为：

y2/a2-x2/b2=1（a>0,b>0）

什么是双曲线,双曲线怎么求?

双曲线x2/a2-y2/b2=1,其中a代表双曲线顶点到原点的距离（实半轴），b代表双曲线的虚半轴，c代表焦点到原点的距离(半焦距)，a,b,c满足关系式a2 b2=c2

　　其中：OA1=a，OB1=b，OF1=c。O为原点。

　　一般的，双曲线（希腊语“?περβολ?”，字面意思是“超过”或“超出”）是定义为平面交截直角圆锥面的猜氏两半的一类圆锥曲线。

　　它还可以定义为与两个固定的点（叫做焦点）的距离差是常数的点的轨迹。

　　这个固定的距离差是a的两倍，这里的a是从双曲线的中心到双曲线最近的分支的顶点的距离。

　　a还叫做双曲线的实半轴。

　　焦点位于贯穿轴上，它们的中间点叫做中心，中心一般位于原点处。

　　定义1：平面内，到两个定点的距离之差的绝对值为常数（小于这两个定点间的距离）的点的轨迹称为双曲线。定点叫双曲线的焦点。

　　定义2：平面内，到给定一点及一直线的距离之比为常数e（（e>1），即为双曲线的离心率）的点的轨迹称为双曲线。

　　定点叫双曲线的焦点，定直线叫双曲线的准线。

　　双曲线准线的方程为（焦点在x轴上）或（焦点在y轴上）。

　　定义3：一平面截一圆锥面，当截面与圆锥面的母线不平行也不通过圆锥面顶点，且与圆锥面的两个圆锥都相交时，交线称为双曲线。

　　定义4：在平面直角坐标系中，二元二次方程F（x，y）=ax2 bxy cy2 dx ey f=0满足以下条件时，其图像为双曲线。

扩展资料：

双曲线的离心率

第一定义：e=c/a且e∈（1， ∞）

　　第二定义：双曲线上的一点P到定点F的距离│PF│与点P到定直线（相应准线）的距离d的比等于双曲线穗亮散的离心率e。

　　d点│PF│/d线（点P到定直线（相应准线）的距离）=e。

　　双曲线的焦半径（圆锥曲线上任意一点P（x，y）到焦点距离）。

　　左焦半径：r=│ex a│。

　　右焦半径：r=│ex-a│。键旁

双曲线的准线

　　焦点在x轴上：x=±a2/c。

　　焦点在y轴上：y=±a2/c。

双曲线的弦长公式

d=√（1 k2）|x1-x2|

=√[（1 k2）（x1-x2）2]

=√（1 1/k2）|y1-y2|

=√[（1 1/k2）（y1-y2）2]

参考资料来源：百度百科-双曲线

如何画双曲线?

一、双曲线的相关概念

　　焦点：双曲线有两个焦点。焦点的横（纵）坐标满足c2=a2 b2。

　　离心率：给定点与给定直线的距离之比，称为该双曲线的离心率。离心率e=c/a

　　顶点：双曲线和它的对称轴有两个交点,它们叫做双曲线的顶点。

　　实轴：两顶点之间的距离称为双曲线的实轴,实轴长的一半称为实半轴。

虚轴：在标准方程中令x=0,得y2=-b2，该方程无实根，为便于作图，在y轴上画出B1(0,b)和B2(0,-b),以B1B2为虚轴.

　　渐近线：双曲线有两条渐近线。渐近线和双曲线不相交。

焦点在x轴的渐近线：y=±b/ax

焦点在y轴的渐近线：y=±a/bx

二、双曲线的标准方程：

①焦点在x轴上：x2/a2-y2/b2=1(a>0,b>0)

②焦点在y轴上：y2/a2-x2/b2=1(a>0,b>0)

　　根据双曲线的定义，双曲线上的一个点到两焦点的距离之差的绝对值是运漏定值，等于2a，即|PF1|-|PF2│|=2a，这里的a是从双曲线的中心到双曲线最近的分支的顶点的距离。

　　三、双曲线的光学性质：从双曲线一个焦点发出的光，经埋氏过双曲线反射后，反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦弯悄散点上。双曲线这种反向虚聚焦性质，在天文望远镜的设计等方面，也能找到实际应用。

　　四、设点为M点，e为离心率。

　　M点在左支上：MF1=ex a（x为M点横坐标）；MF2=ex-a。

　　M点在右支上：MF1=-(ex a）；MF2=-(ex-a).。

综上所述，便可得出双曲线的上的点到两焦点的距离

什么是双曲线?它的画法是怎样的?

x2/a2－y2/b2＝1,﹙a>0,b>0,)a2＋b2＝c2,

　　①通常用“描点法”。

　　先画出直线x=±a,y＝±b的矩形，画上两条对角线，即双曲线的渐近线。

　　然后，依次描出（a，0）,再取x>a的点找出y的相应的值，确定第二个双曲线的第二个点。

　　然后肢纯圆就用平滑的细实线连结二点，并向右上方画去，注意越画越要靠近“渐近线”。

　　画了双曲线的四分之一，就画它的对称曲线即可。

　　（“准线”在徒手画图时用不到）。

　　②在课上板书时，绝对不可以因为时间紧，随手画成左右开口的两个抛物线，（那就体现不出“渐近线的作用了）。板书，板图历塌，都是对同学们其潜移默化的作用的。

　　③做课件，可以用解析几何软件。

　　或者平面几何作图软件。

　　甚至用windows自带的画图板，那就要看自己的熟练程度了。

　　当然用里头的“曲线”。

　　细心一点就完全可以了。

　　④找一条长一些的“拉链（就是拉锁）”，拉开一段，然后把其中的一条折回一些，当做一个焦点，另一条的头头当做另一个焦点。

　　把它们固定（用胶带纸也可以）在木黑裤派板上，此时的“拉锁”就是双曲线的动点p。

　　一边拉开，拉锁（可以捏上一个粉笔头）的轨迹就是双曲线的一支了。

如何定义双曲线?

双曲线的四种定义

　　双曲线第局如一定义：平面内，到两个定点的距离之差的绝对值为常数2a（小于这两个定点间的距离）的点的轨迹称为双曲线。定点叫双曲线的焦点，两焦点之间的距离称为焦距，用2c表示。

　　【例1】设圆C1:(x √5)2 y2=4与圆C2：（x-√5)2 y2=4，动圆C与圆C1外切，与圆C2内切．求动圆C的圆心轨迹L的方程；

【分析】（1）设动圆圆心M（x，y），孙猛半径为r，则|MC1|＝r 2，|MC2|＝r﹣2，可得|MC1|﹣|MC2|＝r 2﹣r 2＝4＜|C1C2|，利用双曲线的定义，即可求动圆圆心的轨迹方程．

【解答】解：（1）设动圆圆心M的坐标为M（x，y），半径为r，

则|MC1|＝r 2，|MC2|＝r﹣2，

∴|MC1|﹣|MC2|＝r 2﹣r 2＝4＜|C1C2|＝2，

由双曲线的定义知，点M的轨迹是以C1、C2为焦点的双曲线的右支，且2a＝4，a＝2，b＝1，

　　双曲线的方程为：x2/4-y2=1(x≥2)；

【点评】通过圆与圆的位置关系，消除动圆半径后符合双曲线的定义，通过定义直接写出方程．

　　双曲线第二定义（统一定义）：平面内，到给定一点及一直线的距离之比为常数e（e>1，即为双曲线的离心率；定点不在定直线上）的点的轨迹称为双曲线。定点叫双曲线的焦点，定直线叫双曲线的准线。

【例2】设双曲线x2-y2/3=1的左右焦点为F1，F2．点P（6，6）为双曲线内部的一点，点M是双曲线右支上的一点，求|MP| |MF2|/2的最小值．

【分析】设过M作准线的垂线MN，垂则腊桥足为N，欲求|MP| |MF2|/2的最小值，即求|MP| |MN|的最小值．

【解答】解∵双曲线方程为x2-y2/3=1，

∴a＝1，b=√3，c＝2，

可得离心率e＝2，

设过M作准线的垂线MN，垂足为N，则|MF2|/|MN|=2，

∴|MN|=|MF2|/2，

∴|MP| |MF2|/2＝|MP| |MN|，

当且仅当M，N，P三点共线时|MP| |MF2|/2的值最小，这个最小值为6-1/2=11/2．

【点评】求|MP| |MF2|/2的最小值，通过圆锥曲线的统一定义将|MF2|/2转化为|MN|，点到直线垂线段最短．

　　双曲线第三定义（参数方程）：双曲线方程：x2/a2-y2/b2=1，可以看成：(x/a)2-(y/b)2=1。而且：sec2α-tan2α=1，所以x=asecα,y=btanα.

　　在以a、b为半径的圆上分别画出角α对应的asecα与btanα值对应的线段，以（asecα，btanα）为坐标点形成的轨迹即为双曲线。

以下视频来源于

解题的艺术

　　【说明】双曲线的参数方程不是高考范围内的内容，对比椭圆的参数作为了解。

　　双曲线第四定义（斜率积）：双曲线的两个顶点与双曲线上任意一点形成两条直线，两条斜率积为b2/a2。

【例3】已知双曲线C关于两条坐标轴都对称，且过点P（2，1），直线PA1与PA2（A1，A2为双曲线C的两个顶点）的斜率之积KPA1.KPA2=1，求双曲线C的标准方程．

【分析】分类讨论，设出标准方程，确定双曲线的顶点坐标，利用斜率关系及点P的坐标，即可得到结论．

【解答】

【点评】知道斜率积结论，清晰知道解题思路，把斜率积转化成与a、b相关方程得解．

双曲线怎么画?

　　先画两条渐近线y=x和y=-x，再左右画两条曲线。

　　双曲线的画法：首先找到相应顶点和焦点，再做出两个渐近线，然后可以用描点法作图。

　　双曲线有两个分支。

　　焦点：给定点称为该双曲线的焦点，定义2中提到的一渗颂给定点也是双曲线的焦点。双曲线有两个焦点。

　　准线：给定直线称为该双曲线的准线。

　　离心率：到给定点与给定直线的距离之比，称为该双曲线的离心率。

　　双曲线有两个焦点，两条准线。

　　注意：尽管定义2中只提到了一个焦点和一条准线。但是给定同侧的一个焦点，一条准线以及离心率可以根据定义2同时得到双曲线的两支，而两侧的焦点，准线和相同离心率得到的双曲线是相同的。

　　顶点：双曲线与两焦点连线的交点，称为双曲线的顶点。

　　渐近线：双曲线有两条渐近线。

　　渐近线方程：焦点在x轴上为：y=±b/ax；焦点在y轴上为：y=±a/bx。

光学性质：

　　从双曲线一个焦点发出的光，经过毕弯双曲线反射后，反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点上。

　　双曲线这种反向丛数郑虚聚焦性质，在天文望远镜的设计等方面，也能找到实际应用。