如何使用《一元二次方程》的初中数学课件？

作者：郜泽运时间：2023-07-18 00:07:03

导读：" 如何使用《一元二次方程》的初中数学课件一、了解一元二次方程的基本概念和特点1.介绍一元二次方程的定义和形式2.解释一元二次方程的解的概念和意义3.强调一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项之间的关系二、掌握一元二次方程的求解方法1.讲解一元"

如何使用《一元二次方程》的初中数学课件

一、了解一元二次方程的基本概念和特点

1.介绍一元二次方程的定义和形式

2.解释一元二次方程的解的概念和意义

3.强调一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项之间的关系

二、掌握一元二次方程的求解方法

1.讲解一元二次方程的标准解法——配方法

a.讲解配方法的基本思路和步骤

b.通过例题演示配方法的具体操作

2.介绍一元二次方程的其他解法——因式分解法和求根公式法

a.说明因式分解法的使用条件和步骤

b.讲解求根公式法的原理和应用场景

三、引导学生进行实际问题的解决

1.给出一些与一元二次方程相关的实际问题

2.引导学生分析和抽象问题中的数学关系

3.使用一元二次方程的求解方法解决实际问题

4.讨论解的意义和实际意义，并与问题的背景相结合进行解释

四、巩固和拓展学生的知识

1.提供一些练习题，让学生熟练掌握一元二次方程的求解方法

2.提供一些拓展题，让学生运用所学知识解决更复杂的问题

3.引导学生思考一元二次方程在实际生活中的应用场景，激发他们对数学的兴趣和学习动力

五、总结和评价

1.总结一元二次方程的基本概念和求解方法

2.评价学生在课件中的表现、理解和掌握程度

3.提出学生可能存在的问题和需要加强的方面

4.鼓励学生继续学习和应用一元二次方程的知识，提高解决问题的能力

初中九年级数学教案范文:一元二次方程的应用

一元二次方程的应用

第一课时

　　一、教学目标

　　　　1．使学生会用列一元二次方程的方法解有关数与数字之间关系的应用题。

　　　　2．通过列方程解应用问题，进一步体会提高分析问题、解决问题的能力。

　　　　3．通过列方程解应用问题，进一步体会代数中方程的思想方法解应用问题的优越性。

　　二、重点·难点·疑点及解决办法

　　　　1．教学重点：会用列一元二次方程的方法解有关数与数字之间的关系的应用题。

　　　　2．教学难点：根据数与数字关系找等量关系。

　　　　3．教学疑点：学生对列一元二次方程解应用问题中检验步骤的理解。

　　　　4．解决办源衫毁法：列方程解应用题，就是先把实际问题抽象为数学问题，然后由数学问题的解决而获得对实际问题的解决。列方程解应用题，最重要的是审题，审题是列方程的基础，而列方程是解题的关键，只有在透彻理解题意的基础上，才能恰当地设出未知数，准确找出已知量与未知量之间的等量关系，正确地列出方程。

　　三、教学过程

　　1．复习提问

　　（1）列方程解应用问题的步骤？

　　　　①审题，②设未知数，③列方程，④解方程，⑤答。

　　（2）两个连续奇数的表示方法是，（n表示整数）

　　2．例题讲解

　　　　例1两个连续奇数的积是323，求这两个数。

　　　　分析：（1）两个连续奇数中较大的奇数与较小奇数之差为2，（2）设元（几种设法）a．设较小的奇数为x，则另一奇数为，b．设较小的奇数为，则另一奇数为；c．设较小的奇数为，则另一个奇数。

　　　　以上分析是在教师的引导下，学生回答，有三种设法，就有三种列法，找三位学生使用三种方法，然后进行比较、鉴别，选出最简单解法。

　　解法（一）设较小奇数为x，另一个为，

　　据题意，得

　　整理后，得

　　　　解这个方程，得。

　　由得，由得，

　　　　答：这两个奇数是17，19或者－19，－17。

　　　　解法（二）设较小的奇数为，则较大的奇数为。

　　据题意，得

　　整理后，得

　　　　解这个方程，得。

　　当时，

　　　　当时，。

　　　　答：两个奇数分别为17，19；塌则或者－19，－17。

　　　解法（三）设较小的奇数为，则另一个奇数为。

　　据题意，得

　　整理后，得

　　　　解得，，或。

　　　　当时，。

　　　　答：两个奇数分别为17，19；－19，－17。

　　引导学生观察、比较、分析解决下面三个问题：

　　1．三种不同的设元，列出三种不同的方程，得出不同的x值，影响最后的结果吗？

　　2．解题中的x出现了负值，为什么不舍去？

　　　　答：奇数、偶数是在整数范围内讨论，而整数包括正整数、零、负整数。

　　　　3．选出三种方法中最简单的一种。

　　　　练习1．两个连续整数的积是210，求这两个数。

　　　　2．三个连续奇数的和是321，求这三个数。

　　　　3．已知两个数的和是12，积为23，求这两个数。

　　　　学生板书，练习，回答，评价，深刻体会方程的思想方法。

　　　　例2有一个两位数等于其数字之积的3倍，其十位数字比个位数字小2，求这两位数。

　　分析：数与数字的关系是：

　　　　两位数十位数字个位数字。

　　　　三位数百位数字十位数字个位数字。

　　　　解：设个位数字为x，则十位数字为，这个两位数是。

　　据题意，得，

　　整理，得，

　　解这个方程，得（不合题意，舍去）

　　当时，

　　　　答：这个两位数是24。

　　　　以上分析，解答，教师引导，板书，学生回答，体会，评价。

　　　　注意：在求得解之后，要进行实际题意的检验。

　　　　练习1有一个两位数，它们的十位数字与个位数字之和为8，如果把十位数字与个位数字调换后，所得的两位数乘以原来的两位数就得1855，求原来的两位数。（35）

　　　　教师引导，启发，学生笔答，板书，评价，体会。

　　四、布置作业

　　教材P42A1、2

　　　　补充：一个两位数，其两位数字的差为5，把个位数字与十位数字调换后所得的数与原数之积为976，求这个两位数。

　　五、板书设计

探究活动

　　将进货单价为40元的商品按50元售出时，能卖500个，已知该商品每涨价雹备1元时，其销售量就减少10个，为了赚8000元利润，售价应定为多少，这时应进货为多少个？

　　参考答案：

　　精析：此题属于经营问题.设商品单价为（50 ）元，则每个商品得利润元，因每涨1元，其销售量会减少10个，则每个涨价元，其销售量会减少10个，故销售量为（500）个，为赚得8000元利润，则应有（500）.故有=8000

　　当时，50 =60，500=400

　　当时，50 =80，500=200

　　所以，要想赚8000元，若售价为60元，则进货量应为400个，若售价为80元，则进货量应为200个.

初中数学一元二次方程教案

　　　　一元二次方程式是初中数学教学的重点内容，教学的顺利进行需要有一个教案。下面我为你整理了初中数学一元二次方程的教案，希望对你有帮助。

　　设计

　　学情分析：

　　学生在七年级和八年级已经学习了整式、分式、二次根式、一元一次方程、二元一次方程、分式方程，在此基础上本节课将从实际问题入手，抽象出一元二次方程的概念及一元二次方程的一般形式.

　　教学目标

　　知识技能：

　　1、理解一元二次方程的概念.

　　2、掌握一元二次方程的一般形式，正确认识二次项系数、一次项系数及常数项.

　　数学思考：

　　1、通过一元二次方程的引入，培养学生建模思想，归纳、分析问题及解决问题的能力.

　　2、通过一元二次方程概念的学习，培养学生对概念理解的完整性和深刻性.

　　3、由知识来源于实际，树立转化的思想，由设未知数、列方程向学生渗透方程的思想，从而进一步提高学生分析问题、解决问题的能力.

　　解决问题：

　　在分析、揭悔散示实际问题的数量关系并把实际问题转化为数学模型一元二次方程的过程中使学生感受方程是刻画现实世界数量关系的工具，增加对一元二次方程的感性认识.

　　情感态度：

　　1、培养学生自主自主学习、探究知识和合作交流的意识.

　　2、激发学生学数学的兴趣，体会学数学的快乐，培养用数学的意识.

　　教学重点：

　　一元二次方程的概念及一般形式.

　　教学难点：

　　1、由实际问题向数学问题的转化过程.

　　2、正确识别一元二次方程一般形式中的“项”及“系数”.

　　教学互动设计：

　　一、自主学习感受新知

　　【问题1】有一块面积为900平方米的长方形绿地，并且长比宽多10米，则绿地的长和宽各为多少?

　　【分析】设长方形绿地的宽为x米，依题意列方程为：xx 10=900;

　　整理得：x2 10x-900=0①

　　　　【问题2】学校图书馆去年年底有图书5万册，预计至明年年底增加到7.2万册，求这两年的年平均增长率。

　　【分析】设这两年的年平均增长率为x，宽雀依题列方程为：51 x2=7.2;

　　整理得：5x2 10x-2.2=0②

　　【问题2】学校要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛?

　　【分析】全部比赛共4×7=28场，设应邀请x个队参赛，则每个队要与其它x-1队各赛1场，全场比赛共场，依题意列方程得：;

　　整理得：x2-x-56=0③

　　　　设计意图：在现实生活中发现并提出简单的问题，吸引学生的注意力，激发学生自主学习的兴趣和积极性。同时通过解决实际问题引入一元二次方程的概念,同时可提高学生利用方程思想解决实际问题的能力。

　　二、自主交流探究新知

　　【探究】1上面三个方程左右两边是含未知数的整式填“整式”“分式”等;

　　2方程整理后含有一个未知数;

　　　　3按照整式中的多项式的规定，它们最高次数是二次。

　　【归纳】

　　1、一元二次方程的定义

　　　　等号两边都是整式，只含有一个求知数一元，并且求知数的最高次数是2二次的方程，叫做一元二次方程。

　　2、一元二次方程的一般形式

　　一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式：

　　ax2 bx c=0a≠0

　　　　碧巧氏这种形式叫做一元二次方程的一般形式。其中ax2是二次项，a是二次项系数，bx是一次项，b是一次项系数，c是常数项。

　　　　【强调】方程ax2 bx c=0只有当a≠0时才叫一元二次方程，如果a=0，b≠0时就是一元一次方程了。所以在一般形式中，必须包含a≠0这个条件。

　　　　设计意图：由于学生已熟练掌握了整式、分式、一元一次方程等概念，所以从未知数的个数及最高次数提问，引导学生归纳共同点是符合学生的认知基础的。

　　学生的自主观察、比较、归纳是活动有效的保证，教学中应当让学生充分的探究和交流。

　　同时，在概念教学中类比是帮助学生正确理解概念的有效方法。

　　【对应练习】判断下列方程，哪些是一元二次方程?哪些不是?为什么?

　　1x3-2x2 5=0;2x2=1;

　　35x2-2x-=x2-2x ;42x 12=3x 1;

　　5x2-2x=x2 1;6ax2 bx c=0

　　　　设计意图：此问题采取抢答的形式,提高学生学习数学的兴趣和积极性。其目的是为了及时巩固一元二次方程的概念，同时让学生知道判断一个方程是不是一元二次方程，首先要对其整理成一般形式，然后根据定义判断。

　　三、自主应用巩固新知

　　　　【例1】已知方程a-3x|a-1|-2x 5=0，当a=-1时，此方程是一元二次方程，当a=0，2或3时，此方程是一元一次方程。

　　　　设计意图：通过例1的学习，一是使学生进一步巩固一元二次方程的概念，并注意其最基本的条件：未知数的最高次数为2，二次项系数不为0;二是使学生了解一元二次方程与一元一次方程的联络与区别。在填第一个空时要让学生注意a值的取舍，填第二个空时要注意引导学生进行分类讨论。

　　【例2】将方程3xx-1=5x 2化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项.

　　【分析】一元二次方程的一般形式是ax2 bx c=0a≠0.因此，方程3xx-1=5x 2必须运用整式运算进行整理，包括去括号、移项等.

　　解：去括号，得：

　　3x2-3x=5x 10

　　移项合并同类项，得：

　　3x2-8x-10=0

　　　　其中二次项系数是3，一次项系数是-8，常数项是-10。

　　　　设计意图：通过例2的学习，一是使学生进一步掌握一元二次方程的一般形式，并注意强调二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都包括前面的符号;二是使学生进一步了解方程的变形过程。

　　四、自主总结拓展新知

　　本节课你学了什么知识?从中得到了什么启示?

　　　　1、a≠0是ax2 bx c=0成为一元二次方程的必要条件，否则，方程ax2 bx c=0变为bx c=0，就不是一元二次方程。

　　　　2、找一元二次方程中的二次项系数、一次项系数、常数项，应先将方程化为一般形式。

　　　　设计意图：引导学生回顾本节课的学习内容，加强知识的形成。

　　五、自主检测反馈新知

　　　　1、下列方程，是一元二次方程的是①④⑤。

　　①3x2 x=20，②2x2-3xy 4=0，③，④x2=0，⑤

　　　　2、某学校准备修建一个面积为200平方米的矩形花圃，它的长比宽多10米，设花圃的宽为x米，则可列方程为xx 10=200，化为一般形式为x2 10x-200=0。

　　　　3、方程m-2x|m| 3mx 1=0是关于x的一元二次方程，则m=-2。

　　　　4、将方程x 12 x-2x 2=1化成一元二次方程的一般形式为2x2 2x-4=0，其中二次项是2x2，二次项系数是2，一次项是2x，一次项系数是2，常数项是-4。

　　　　设计意图：随堂检测学生对新知识的掌握情况，及时了解反馈和调整后续教学内容与教法。

　　六、课后作业

　　教科书第28页12567

　　初中一元二次方程教学理念与反思

　　　　本节内容是九年级数学第二章的第一课时，通过对本节课的学习，学生将掌握一元二次方程的概念及一般形式ax2 bx c=0a≠0和二次项、二次项系数、一次项、一次项系数和常数项，是典型的概念教学课。

　　　　概念教学总是遵循这样的规律：引入概念、形成概念、巩固概念、运用概念和深化概念，在设计教学中也是遵循这一规律，通过学习、交流、应用、总结、检测这五个环节来完成教学任务。首先通过三个问题让学生建立一元二次方程顺利引入到新课;然后通过交流探究归纳出一元二次方程的概念，使学生体会到学习一元二次方程的必要性，探讨一元二次方程的一般形式及相关概念，并学会利用方程解决实际问题，从而获得本课的新知识;再次是通过两个例题达到巩固、运用概念的作用;最后通过总结与检测来深化学生所学知识，并运用到实际问题中去，使学生熟练掌握所学知识。

　　　　教学过程中，强调自主学习，注重合作交流，让学生与学生的交流合作在探究过程中进行，使他们在自主探究的过程中理解和掌握一元二次方程的概念及一般形式，并获得数学活动的经验，提高探究、发现和创新能力。

初三数学的一元二次方程怎样学习

“一元二次方程”学习要点

一、本章知识结构

1、知识结构梳理

2、定理公式总结

(1)一元二次方程的一般形式为ax2 bx c=0(a≠0)

(2)一元二次方程ax2 bx c=0(a≠0)的求根公式：

　　(3)一元二次方程的根的判别式滑游模：△=b2-4ac。

　　*原载于《教材全程全解同步精讲精练》(初三代数全一册)，中国少年儿童出版社,2004年5月。

(4)一元二次方程的根的判别式定理：

　　△＞0方程有两个不相等的实数根；

　　△＝0方程有两个相等的实数根；

　　△＜0方程没有实数根；

　　△≥0方程有两个实数根。

(5)一元二次方程根与系数磨猛的关系定理：

如果一元二次方程ax2 bx c=0(a≠0)的两个实数根是x1，x2，那么

x1 x2=

推论1：如果方程x2 px q=0的两个实数根是x1，x2，那么x1 x2=-p，x1x2=q.

推论2：以x1，x2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是：x2-(x1 x2)x x1x2=0

　　(6)二次三项式因式分解公式：ax2 bx c=a(x-x1)(x-x2)。其中x1，x2是一元二次方程ax2 bx c=0(a≠0)的两个根。

(7)求一元二次方程两根x1，x2的对称式的值，常用公式：

　　①x12 x22=(x1 x2)2-2x1x2；

②(x1-x2)2=(x1 x2)2-4x1x2

二、数学规律总结

　　1、我们已学过的方程和方程组有整式方程（一元一次方程，一元二次方程）、分式方程，二元一次方程组，二元二次方程组，它们都属于代数方程中的有理方程。

　　在我们学过的方程中，一元一次方程和一元二次方程是解方程（组）的最基本的知识和技能。熟练地解一元一次方程和一元二次方程是解代数方程（组）的关键和前提，因此，我们必须将这部分知识扎实地学好。

　　2、本章介绍了一元二次方程的四种解法——直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法。

　　其中公式法对于任何一个一元二次方程都适用，是解一元二次方程的通法，掌握用公式法求一元二次方程根的方法，关键是要正确理解公式的具体推导过程（即配方法），充分认识该知识的产生过程和来龙去脉，然后要牢固记住公式的形式、结构和内涵，用公式求方程的根时，就是运用二次根式的有关知识求两个二次根式的值。

　　但是，在解一元二次方程时，应具体分析方程的特点，选择适当的方法，以使解题过程简便。

　　一般地，一元二次方程解法的选择顺序是：先考虑直接开平方法，再考虑因式分解法，最后考虑公式法，配方法是推导求根公式的工具，掌握公式法之后，就可以直接用公式法解一元二次方程了。因此，解一元二次方程一般不用配方法（除题目中要求用配方法解方程外），信缓但配方法除了用于推导一元二次方程的求根公式以外，在学习其他数学内容时，也有广泛的应用，因此配方法是一种很重要的数学方法，我们一定要正确理解配方的意图，掌握配方的方法，把这部分知识学好学活。

3、二次三项式ax2 bx c在实数范围能够分解的条件

b2-4ac≥0

4、一元二次方程ax2 bx c=0有实根的条件b2-4ac≥0

三、思想方法总结

1、转化思想

　　在本章中，“转化”思想象一条红线贯穿于始终。

　　解一元二次方程需转化为一元一次方程；解分式方程需转化为整式方程；解二元二次方程组需转化为二元一次方程组或一元二次方程。

　　在实数范围内二次三项式的因式分解，需将之转化成解对应的一元二次方程的问题来解决，此外方程中字母系数的确定也是通过转化为解方程问题而解决的。

　　具体转化过程及转化方法如下图所示：。

因式分解降次

去分母整式化

代入法消元

因式分解降次

　　转化思想是初中数学中常见的一种数学思想，它的应用十分广泛，我们在解数学题时，常常运用转化思想，将复杂问题转化成简单的问题，将生疏的问题转化为熟悉的问题。

2、方程思想

　　在解数学计算时，往往通过已知和未知的联系，建立起方程或方程组，通过解方程或方程组，求出未知量的数值，从而使问题得以解决，这种通过列方程沟通已知和未知联系的数学思想，通常称为方程思想。

　　方程思想在本章主要体现在列方程(组)解应用题、利用判别式和韦达定理确定一元二次方程中待定系数(字母系数)、二次三项式的因式分解、利用根与系数关系解形如的“Ⅱ—Ⅰ”型方程组等。

3、公式化与分类讨论的思想

在数学中，对那些有规律可循“成型的”数学问题，我们总

　　希望找到一个公式，在解题时，只要把已知数代进去，就可以求出问题的结果(结论)，从而达到准确、高速解决该“模块”的目的。如圆面积公式，梯形面积公式，由时间和速度求距离的公式S=Vt等等，在这个思想指导下，我们通过配方，求出了一元二次方程的求根公式x=。

　　可是，在我们的公式中，有一个二次根式，它的被开方数为△=b2-4ac，当△≥0时，根式有意义，公式才能成立，才能应用；那么，当△＜0时，公式就不能用了。

　　这时，说明什么问题？方程ax2 bx c=0(a≠0)没有根吗？不能这样说，因为公式的推导过程已经表明，只有在△≥0时，才能得到求根公式，也就是说，只有△≥0时，才可用求根公式法解一元二次方程，求出实数根。

　　若△＜0时，不能用公式求实数根，也许可以用别的方法求出来。

　　这就提出了一个问题：能否在不解方程的情况下，判断方程是否有实数根？通过仔细分析配方过程，终于弄清了“△”对判别一元二次方程实数根的作用：。

对于方程ax2 bx c=0(a≠0)来说，记△=b2-4ac，那么：

　　(1)若△＞0，则方程有不相等的实数根；

　　(2)若△=0，则方程有两个相等的实数根；

　　(3)若△＜0，则方程没有实数根。

反之亦然

　　由于△＞0，△=0，△＜0，是对△值的完全的分类，它同方程有不等实根，有相等实根和没有实根(也是对方程根的情况是完全分类)三种情况一一对应，这就为分类讨论打下了基础。

　　此外，我们在遇有含有字母的方程时，我们要对字母系数分情况进行讨论，再根据各情形的知识进行研究探索、求解等等。

　　(前面已举例)。

　　分类讨论是数学中重要的思想方法，我们一定要注意体会该思想方法，积累自己的数学素养。

　　⑷本章所应用的数学方法主要有：①代入消元法；②因式分解降次法；③换元法；④配方法。

　　代入消元法和分解降次法主要体现在解二元二次方程组；换元法主要体现在解可化为一元二次方程的分式方程和二次三项式的因式分解；配方法主要体现在利用配方法解一元二次方程、一元二次方程的求根公式的推导、一元二次方程根的判别式的应用、一元二次方程根与系数的关系的应用等。

四、解题方法指导

1、观察与分析的思维方法

　　“观察”和“分析”是解数学题中广泛使用的基本思维方式，无论是解一元二次方程，分式方程及二元二次方程组，都离不开深入地观察和分析。

(1)解一元二次方程的观察和分析

①解形如(x-m)2=n(n≥0)的方程，应选用直接开平方法，先根据平方根意义得x-m=±，再移项，得方程的根为x1=m ,x2=m-.

　　②解形如(x-m)(x-n)=0的方程，可根据“几个因式的积为零，那么这几个因式中至少有一个因式为零”的情况，则可能化为x m=0或x-n=0得到方程的根为x1=m,x2=n。

　　③除了上述两种形式的非一般式的一元二次方程，一般应先化成一般形式ax2 bx c=0(a≠0)后再解，对于容易分解的，用因式分解法解，对于不易因式分解的，再用公式法解。

例如选用适当的方法解下列方程

⑴(x 2)2=4,⑵3(x 1)(-x)=0,⑶3x(x-)=1,⑷2x2 3x(1-x) 2=0.

　　分析：通过对提供的方程进行观察和分析易得到下述结论：⑴用直接开平方法较简单；⑵是两个因式的积为0，可直接写出x1=-1,x2=；⑶将之化为一般形式为3x2-2x-1=0，则可用因式分解法解较简单；⑷化为一般形式为x2-3x-2=0，因不易分解、故可用公式法解较合适。

(2)解分式方程的观察与分析

　　“转化”是解分式方程以及高次方程等比较复杂的方程基本思想。那么，如何实现转化呢？这就要求我们根据提供的分式方程的式结构进行观察和分析，寻求出比较恰当的求解方法。

　　将分式方程转化为整式方程的方法是“去分母法”，实施这一方法的操作流程是将原方程的两边都乘以各分母的最小公倍数。

　　但是，经过转化后的方程有时会是一个高次方程，到目前为止，我们还没有找到解高次方程的一般方法，因此，可根据分式方程的“式结构”特征，选用特殊的解法——换元法。

　　在使用换元法解分式方程时，要注意有些方程换元的特征比较明显，有些却不明显，需要做适当的变形，方可显露出换元的特征，如下列方程：。

⑴⑵

⑶⑷2(x2 )-9(x ) 14=0

　　分析：上述方程中，⑴和⑵具备直接换元的条件，其中⑴设y=可转化为y2-y-2=0；⑵设y=，可转化为y ；

　　⑶要将方程中3x2 9x转化为3(x2 3x)，设y=x2 3x，则原方程可变为3y-；⑷要注意把握x2 与x 的关系，若设y=x ，则y2=x2 ，∴x2 ，则原方程变为：2(y2-2) y 14=0.

(3)解二元二次方程组的观察与分析

　　我们所学习的二元二次方程组可分为两种类型：第一类型即“Ⅱ—Ⅰ”型，指的是由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组，这类方程组的一般解法是“代入消元法”，第二类型即“Ⅱ—Ⅱ”型，指的是由两个二元二次方程组成的方程组，这类方程组的一般解法是“分解降次法”，通过分解降次，可将第二类型转化为第一类型，再用代入消元法来解。

　　因此，我们在解二元二次方程组时，一定要认真观察和分析方程组中每个方程的类型和特征，采用“对症下药”的解题策略，寻求最适宜的求解方法。

　　例如下列方程组：。

⑴⑵

⑶⑷

　　分析：⑴属“Ⅱ—Ⅰ”自然用代入消元法来解；⑵属“Ⅱ—Ⅰ”则可用代入消元法来解，但是⑵中的第1个方程可进行因式分解，则又可用“分解降次”法来解(要注意“Ⅱ—Ⅰ”型有时也可用“分解降次”法来求解；⑶属“Ⅱ—Ⅱ”型，则可用“分解降次”，当然也可用两边开平方法将之“裂变”为四个二元一次方程组来解；⑷属“Ⅱ—Ⅱ”型，但只有第一个方程能用因式分解，则只可用“分解降次”法，将之“裂变”为两个“Ⅱ—Ⅰ”来解。

2、分析与构造的思维方法

　　对于形如的方程组，可用“韦达定理法”来解，即把x、y看作一元二次方程z2-az b=0的两个根，解这个一元二次方程就可求得方程组的解。其策略是根据“式结构”巧妙地构造出一个一元二次方程，然后通过解这个一元二次方程的方法达到解方程组的目的。

利用韦达定理解某些具有上述特殊形式的二元二次方程组，能够使问题化难为易，化繁为简，观察下列方程组：

⑴⑵

⑶⑷

　　这些方程组都可以用韦达定理法求解，有的可直接构造方程，有的需要做适当的变形后，再构造出一元二次方程。

　　如，方程组⑴可直接构造以x、y为根的一元二次方程z2-7z 12=0；方程组⑵先变形为然后构造出以x和-y为根的一元二次方程z2-11z 18=0；方程组⑶，先变形为再构造以x、y为根的方程z2-17z 60=0；方程组⑷，先变形为再构造以x2、y2为根的方程z2-5z 4=0,或者变形为或然后分别构造以x、y为根的方程z2-3z 2=0.或z2 3z 2=0.

3、分析与综合的思维方法

　　“分析”和“综合”是两种基本的思维方法，在数学中有着特别重要的作用。

　　“分析”就是把事物的整体分解成若干个组成部分，并对各个部分分别进行考察；“综合”就是把事物的各个部分联结成一个整体，并从整体上加以研究，“先分析后综合”这是人们认识事物的一条基本途径，也是解数学题的一种常用的手段。

　　数学综合题，可以看成是由几个互联相关的“小题目”组成的一个“大题目”。

　　解数学综合题时，应当先对综合题进行“分析”——把它分解成几个互相关联的“小题目”，并逐一解答这些“小题目”，再把“分析”所得的结果“综合”起来，从而求得综合题的答案。

　　例如：(2003·济南中考)已知方程组的两个解为且x1,x2是两个不相等的正数。

　　⑴求a的取值范围;(2)若x12 x22-3x1x2=8a2-6a-11，求a的值。

分析：这是一道既涉及到方程组，又涉及到一元二次方程根的判别式，根与系数关系的综合题，它可以分解成如下3个“小题目”：

⑴方程组可转化为一个什么样的一元二次方程？

　　⑵若x1，x2为转化成的一元二次方程的两根，且x1≠x2，求待定参数a的范围；

　　⑶若x1，x2为转化为一元二次方程的两根，且x12 x22-3x1x2=8a2-6a-11，求待定参数a的值。

　　从上例可以看出，解数学综合题的过程，通常也是一个“先分析后综合”的过程。

五、综合题例分析

　　例1(2003·北京市中考题)已知：关于x的方程x2-2mx 3m=0的两个实数根是x1,x2,且(x1-x2)2=16,如果关于x的另一个方程x2-2mx 6m-9=0的两个实数根都在x1和x2之间，求m的值。

　　分析：首先根据x2-2mx 3m=0的两根x1，x2满足(x1-x2)2=16的条件，将参数m的值求出,然后根据m的值，将两方程的根分别求出来，最后作出判断。

[解]∵x1，x2是方程x2-2mx 3m=0的两个实数根，

∴x1 x2=2m，x1·x2=3m

∵(x1-x2)2=16∴(x1 x2)2-4x1x2=16

∴4m2-12m=16解得m1=-1,m2=4

⑴当m=-1时，

方程x2-2mx 3m=0为x2 2x-3=0，则x1=-3，x2=1，

方程x2-2mx 6m-9=0为x2 2x-15=0，则x1=-5,x2=3

　　∵-5，3不在-3和1之间∴m=-1不合题意，舍去。

⑵当m=4时，方程x2-2mx 3m=0为x2-8x 12=0

则x1=2，x2=6

方程x2-2mx 6m-9=0为x2-8x 15=0

则x1’=3x2’=5

∵2＜3＜5＜6

即x1＜x1’＜x2’＜x2∴m=4满足题意

综合(1)和(2)，m=4

　　[评注]本题事实上就是根据题中给出的一个条件，运用根与系数的关系，求参数值的问题，不过本题已将该题型拓展延伸为判断两个方程根的大小范围问题了。因此，我们在审题中，一定要有“慧眼识真金”的本领，善于将提供的“新”问题，通过

　　分析、类比、综合等思维方式，转化到我们已经会解决的“老”问题上来。

例2已知关于x的方程x2-(2k 1)x 4(k-)=0

　　（1）求证：无论k取什么实数时，这个方程总有两个实数根；

　　（2）若等腰三角形ABC的一边长a=4，另外两边的长b、c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长。

　　[分析]（1）要证一个一元二次方程有两个实根，只需要证明判别式△≥0即可；（2）有关等腰三角形问题，若未指明腰和底边时，要进行讨论，因此，本题对a是等腰三角形的底边还是等腰三角形的一腰要进行分类讨论。

[解]（1）△=[-(2k 1)]2-4×4(k-)

=(2k-3)2

　　∵不论k取何值时，(2k-3)2≥0，即△≥0。

∴不论k取何值时，这个方程有两个实数根

⑵①当a是等腰三角形底边时，这时b、c即为等腰三角形两腰，则b=c

　　∴方程有两个相等的实数根。

则△=(2k-3)2=0k=

原方程即为x2-4x 4=0.b=c=2

当b=c=2时，b c=2 2=4=a这与“三角形中两边之和大于第三边”相矛盾，故a不可能是此等腰三角形的底边

②当a是等腰三角形的腰时，这时，b、c中至少有一个值为4，把x=4代入原方程中，16-4(2k 1) 4(k-)=0k=，则原方程为x2-6x 8=0两根为x1=2，x2=4，即b、c两边一边为2，另

一边为4，符合三角形三边之周关系，这时△ABC的周长为a b c=4 (2 4)=10

[评注]

　　⑴要判断二次三项式的值的正负性，通常采用配方法，利用完全平方式的非负性来确定。

　　⑵由于本题中的a、b、c的值是三角形三边的长，必须满面足“两边之和大于第三边”否则就不能构成三角形的三边。

　　⑶在遇有等腰三角形的问题时，若未指明谁是腰，谁是底边时，一般要用分类讨论法解决问题。

例3已知关于x的一元二次方程x2 2px-p2-1=0的两个实数根为x1，x2.

　　⑴若此方程的两根之和不大于两根之积，求p的值。

　　⑵若p=-1，求x13 2x22 2x2的值。

　　[分析]⑴利用根与系数关系建立关于p的不等式，由完全平方式的非负性，求出p的值。注意，最后一定要注意判别式的值为非负数。

　　⑵首先利用根的定义，对x13进行降次处理，把所求代数式转化成关于两根对称式的代数式，再利用根与系数的关系求出值来。

[解]⑴∵x1，x2为方程两根

∴x1 x2=-2px1·x2=-p2-1

据题意，得x1 x2≤x1x2

即-2p≤-p2-1

∴p2-2p 1≤0

(p-1)2≤0，则p=1

当p=1时，原方程为x2 2x-2=0△=12＞0

∴所求p的值为1.

　　⑵当p=-1时，方程x2 2px-p2-1=0。为x2-2x-2=0，x1、x2为方程两负数根。

由方程根的意义有：x12-2x1-2=0即x12=2x1 2

由根与系数关系有：x1 x2=2,x1·x2=-2

则x13 2x22 2x2=x1·x12 2x22 2x2

=x1(2x1 2) 2x22 2x2

=2x21 2x1 2x22 2x2

=2(x12 x22 x1 x2)

=2[(x1 x2)2-2x1x2 (x1 x2)]

=2×(4 4 2)

=20

　　[评注]求关于一元二次方程的两根的代数式的值，如果代数式是关于两根的对称式，先把这个代数式通过变形化成两根之和及两根之积的形式，再把由根与系数的关系所得的两根之和及两根之积的值代入即可；如果代数式不是两根的对称式，则由根的定义，通过对其中的次数为二次或二次以上的根用代入法进行降次，直到化为两根的对称式为止。一句话，就是用根的定义，将非轮换对称式转化成换对称式来解决，这也体现了“转化与化解”的数学思想方法。

例4已知a、b、c是△ABC的三边，a、b的值是方程x2-(4 c)x 4c 8=0的两个实根，且满足25asinA=9c

　　(1)求证△ABC是直角三角形；

　　(2)求a、b、c三边的长。

　　[分析](1)题中只给出了a、b的长是已知方程的两根。因此，根据根与系数的关系，通过探求出三角形三边a、b、c的关系，故可运用勾股定理的逆定理来证明△ABC为直角三角形。

　　(2)在(1)已证明了△ABC为直角三角形的前提下，则SinA只可以用三角函数来表示边间的关系，根据边间关系及根与系数的关系，可求出a、b、c的值。

[解](1)∵a、b是方程x2-(4 c)x 4c 8=0的两根

∴a b=4 cab=4C 8

∵a2 b2=(a b)2-2ab=(4 c)2-2(4c 8)=c2

即a2 b2=c2∴△ABC为直角三角形

(2)∵25aSinA=9c且SinA=

∴25a·=9c，=

设a=3kc=5k，则b=

将a=3k，b=4k，c=5k代入a b=4 ck

3k 4k=4 5k∴k=2

　　∴a=6，b=8，c=10。

　　[评注](1)确定一个三角形为直角三角形一般从边和角这两个方面去判断，本题由于没有提供角的关系，虽然提供了三角函数，但三角函数关系式也只能在直角三角形中使用(本题本身就是要我们证明此三角形为直角三角形)，故本题若选择从角的方面来判断该三角形是行不通的，而本题已知边与方程根的关系，若运用根与系数的关系式，故可从边的角度来判断该三角形为直角三角形。

　　(2)在直角三角形中，要注意用三角函数把问题转化成纯边(或纯角)的关系式来解决问题，本题(2)要求的是三角形的三边，则我们可以通过三角函数的关系式，将问题转化纯边来解决。在解题过程中，遇有边边之比的问题，则可引进比例系数k这个参

　　数，要求三边，则即求比例系数k。

　　例5若a、b是实数，关于x的方程|x2 ax b|=2有三个不相等的实根。

(1)求证：a2-4b-8=0

　　(2)若该方程三个不相等实根恰好为一个三角形内角的度数，求证该三角形必有一内角是60°。

　　(3)若该方程三个根恰为一直角三角形三边，求a、b。

　　[分析](1)由绝对值概念可得两个一元二次方程，有三个不相等的实数根，说明得到的两个方程中其中有一个方程有两个相等的实数根，或得到的两个方程中，必有一个公共的实根。

　　(2)由三角形内角之和为180°和根与系数的关系可求得必有一根为60。

　　(3)先判断出直角三角形的斜边是第哪一个方程的根，再由勾股定理建立方程来求解。

[解](1)证明：∵|x2 ax b|=2

∴x2 ax b-2=0①x2 ax b 2=0②

　　显然方程①和②不可能有一公根，则方程①和②必有一个方程有两个相等的实数根。

△1=a2-4b 8△2=a2-4b-8

∵△1＞△2∴△2=0

即a2-4b-8=0

(2)设方程①的两根为x1，x2，则x1 x2=-a，x1·x2=b-2设方程②的两根为x3，x3则x3 x3=-a

∴x3=-∵x1 x2 x3=180°∴-a (-)=180°

即x3=60

∴这个三角形中必有一个内角为60°

(3)∵x1 x2=2x3=-a

∴方程①的两根中有一根为直角三角形的斜边,设其为x1.

根据题意，得x12-x22=x32，

(x1 x2)(x1-x2)=x32，

4(x1 x2)=-a，

16(a2-4b 8)=a2，

∴

解得

∵x3=-＞0∴a＜0则a=-16，b=62

　　[评注](1)本题是一道综合性技巧性较强的综合题，解决之要用到绝对值，根的判别式定理，根与系数的关系，三角形的内角和，勾股定理，转化的思想，方程的思想及变换命题等数学知识。题中还多处运用了变换技巧，我们要从中吸取精华，拓展自已的解题思路，提高自已的解题能力。

　　(2)本题中的两个字母a、b并不是三角形的边，这一点在解题中要牢牢记住。

例6(1998年江苏省徐州市中考题)一辆三轮摩托车在一条笔直的道路上行驶，车上一位运动员每隔一定时间开枪射靶一次，道路中间站着一位裁判，当摩托车向他驶来时，听见每两次相邻射击相隔5.7s，而当摩托车驶过他身边以后，听见每两次相邻射击相隔6.3s，如果声速为350m/s，那么车上运动员每隔几秒射击一次？摩托车的速度是多少米每秒？

　　[分析]这是一道行程问题，问题涉及到行程的两个方面，一是摩托车向裁判员驶来时，时间的变化关系；二是摩托车驶过裁判员身后，相邻两次射击声音的变化关系，搞清了这两个关系，解决本题就不是难事了。

[解]设运动员每隔xs射击一次，摩托车的速度是ym/s，依题意得

① ②得2x=12，

∴x=6.

把x=6代入①得y=17.5，

∴

答：车上运动员每隔6s射击一次，摩托车的速度是17.5m/s.

　　[评注]此为实际应用型的二元二次方程组，难点在理解题意列出方程组，摩托车向裁判驶来时，相邻两次射击的声音传播后一次比前一次近xym，所以少用，当摩托车驶过裁判身边后，相邻两次射击的声音后一次比前一次远xym，所以多用裁判才能听到。此题与物理中声音的传播结合，称得上是一道好题。

“一元二次方程”学习要点

一、本章知识结构

1、知识结构梳理

2、定理公式总结

(1)一元二次方程的一般形式为ax2 bx c=0(a≠0)

(2)一元二次方程ax2 bx c=0(a≠0)的求根公式：

　　(3)一元二次方程的根的判别式：△=b2-4ac。

一元二次方程解法

关于一元二次方程的解法

　　一元二次方程的解法一、知识要点：一元二次方程和一元一次方程都是整式方程，它是初中数学的一个重点内容，也是今后学习数学的基础。

　　一元握誉二次方程的一般形式为：ax^2(2为次数，即X的平方) bx c=0,(a≠0)，它是只含一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程。解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”将它化为两个一元一次方程。

　　一元二次方程有四种解法：1、直段告段接开平方法；2、配方法；3、公式法；4、因式分解法。二、方法、例题精讲：1、直接开平方法：直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。

　　用直接开平方法解形如（x-m）2=n(n≥0)的方程，其解为x=±根号下n m.例1.解方程（1）(3x 1)2=7(2)9x2-24x 16=11分析：（1）此方程显然用直接开平方法好做，（2）方程左边是完全平方式（3x-4）2，右边=11>0，所以此方程也可用直接开平方法解。（1）解：（3x 1）2=7*∴（3x 1）2=5∴3x 1=±（注意不要丢解）∴x=∴原方程的解为x1=,x2=(2)解：9x2-24x 16=11∴（3x-4）2=11∴3x-4=±∴x=∴原方程的解为x1=,x2=2.配方法：用配方法解方程ax2 bx c=0(a≠0)先将常数c移到方程右边：ax2 bx=-c将二次项系数化为1:x2 x=-方程两边分别加上一次项系数的一半的平方：x2 x ()2=- ()2方程左边成为一个完全平方式：（x ）2=当b^2-4ac≥0时，x =±∴x=（这就是求根公式）例2.用配方法解方程3x^2-4x-2=0（注：X^2是X的平方）解：将常数项移到方程右边3x^2-4x=2将二次项系数化为1:x2-x=方程两边都加上一次项系数一半的平方：x2-x ()2= ()2配方：（x-）2=直接开平方得：x-=±∴x=∴原方程的解为x1=,x2=.3.公式法：把一元二次方程化成一般形式，然后计算判别式△=b2-4ac的值，当b2-4ac≥0时，把各项系数a,b,c的值代入求根公式x=[-b±（b^2-4ac）^(1/2)]/(2a),(b^2-4ac≥0)就可得到方程的根。

　　例3.用公式法解方程2x2-8x=-5解：将方程化为一般形式：2x2-8x 5=0∴a=2,b=-8,c=5b^2-4ac=(-8)2-4*2*5=64-40=24>0∴x=[(-b±（b^2-4ac）^(1/2)]/(2a)∴原方程的解为x1=,x2=.4.因式分解法：把方程变形为一边是零，把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式，让两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得到的根，就是原方程的两个根。这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。

　　例4.用因式分解法解下列方程：（1）(x 3)(x-6)=-8(2)2x2 3x=0(3)6x2 5x-50=0（选学）（4）x2-2( )x 4=0（选学）（1）解：（x 3）(x-6)=-8化简整理得x2-3x-10=0（方程左边为二次三项式，右边为零）（x-5）(x 2)=0（方程左边分解因式）∴x-5=0或友仔x 2=0（转化成两个一元一次方程）∴x1=5,x2=-2是原方程的解。（2）解：2x2 3x=0x(2x 3)=0（用提公因式法将方程左边分解因式）∴x=0或2x 3=0（转化成两个一元一次方程）∴x1=0,x2=-是原方程的解。

　　注意：有些同学做这种题目时容易丢掉x=0这个解，应记住一元二次方程有两个解。（3）解：6x2 5x-50=0(2x-5)(3x 10)=0（十字相乘分解因式时要特别注意符号不要出错）∴2x-5=0或3x 10=0∴x1=,x2=-是原方程的解。

　　（4）解：x2-2( )x 4=0（∵4可分解为2·2，∴此题可用因式分解法）（x-2）(x-2)=0∴x1=2,x2=2是原方程的解。小结：一般解一元二次方程，最常用的方法还是因式分解法，在应用因式分解法时，一般要先将方程写成一般形式，同时应使二次项系数化为正数。

　　直接开平方法是最基本的方法。公式法和配方法是最重要的方法。

　　公式法适用于任何一元二次方程（有人称之为万能法），在使用公式法时，一定要把原方程化成一般形式，以便确定系数，而且在用公式前应先计算判别式的值，以便判断方程是否有解。配方法是推导公式的工具，掌握公式法后就可以直接用公式法解一元二次方程了，所以一般不用配方法解一元二次方程。

　　但是，配方法在学习其他数学知识时有广泛的应用，是初中要求掌握的三种重要的数学方法之一，一定要掌握好。（三种重要的数学方法：换元法，配方法，待定系数法）。

　　例5.用适当的方法解下列方程。（选学）（1）4(x 2)2-9(x-3)2=0(2)x2 (2-)x -3=0(3)x2-2x=-(4)4x2-4mx-10x m2 5m 6=0分析：（1）首先应观察题目有无特点，不要盲目地先做乘法运算。

　　观察后发现，方程左边可用平方差公式分解因式，化成两个一次因式的乘积。（2）可用十字相乘法将方程左边因式分解。

　　（3）化成一般形式后利用公式法解。（4）把方程变形为4x2-2(2m 5)x (m 2)(m 3)=0，然后可利用十字相乘法因式分解。

　　（1）解：4(x 2)2-9(x-3)2=0[2(x 2) 3(x-3)][2(x 2)-3(x-3)]=0(5x-5)(-x 13)=05x-5=0或-x 13=0∴x1=1,x2=13(2)解：x2 (2-)x -3=0[x-(-3)](x-1)=0x-(-3)=0或x-1=0∴x1=-3,x2=1(3)解：x2-2x=-x2-2x =0（先化成一般形式）△=（-2）2-4*=12-8=4>0∴x=∴x1=,x2=(4)解：4x2-4mx-10x m2 5m 6=04x2-2(2m 5)x (m 2)(m 3)=0[2x-(m 2)][2x-(m 3)]=02x-(m 2)=0或2x-(m 3)=0∴x1=,x2=例6.求方程3(x 1)2 5(x 1)(x-4) 2(x-4)2=0的二根。（选学）。

一元二次方程解法,举几个例子要过程

　　一元二次方程有四种解法：1、直接开平方法；2、配方法；3、公式法；4、因式分解法.1、直接开平方法：例.解方程（3x 1）^2;=7(3x 1)^2=7∴（3x 1）^2=7∴3x 1=±√7（注意不要丢解符号）∴x=﹙﹣1±√7﹚/32.配方法：例.用配方法解方程3x2-4x-2=0将常数项移到方程右边3x2-4x=2方程两边都加上一次项系数一半的平方：x2-﹙4/3﹚x (4/6)2=2 (4/6)2配方：（x-4/6）2=2 (4/6)2直接开平方得：x-4/6=±√[2 (4/6)2]∴x=4/6±√[2 (4/6)2]3.公式法：例.用公式法解方程2x2-8x=-5将方程化为一般形式：2x2-8x 5=0∴a=2,b=-8,c=5b2-4ac=(-8)2-4*2*5=64-40=24>0∴x=[(-b±√（b2-4ac）]/(2a)4.因式分解法：例.用因式分解法解下列方程：（1）(x 3)(x-6)=-8(1)(x 3)(x-6)=-8化简整理得x2-3x-10=0（方程左边为二次三项式，右边为零）（x-5）(x 2)=0（方程左边分解因式）∴x-5=0或x 2=0（转化成两个一元一次方程）∴x1=5,x2=-2是原方程的解.。

【一元二次方程的解法的具体过程快些高师门】

　　一元二次方程的解法一、知识要点：一元二次方程和一元一次方程都是整式方程，它是初中数学的一个重点内容，也是今后学习数学的基础.一元二次方程的一般形式为：ax^2(2为次数，即X的平方) bx c=0,(a≠0)，它是只含一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程.解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”将它化为两个一元一次方程.一元二次方程有四种解法：1、直接开平方法；2、配方法；3、公式法；4、因式分解法.二、方法、例题精讲：1、直接开平方法：直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法.用直接开平方法解形如（x-m）2=n(n≥0)的方程，其解为x=±m.例1.解方程（1）(3x 1)2=7(2)9x2-24x 16=11分析：（1）此方程显然用直接开平方法好做，（2）方程左边是完全平方式（3x-4）2，右边=11>0，所以此方程也可用直接开平方法解.（3x 1）2=7*∴（3x 1）2=5∴3x 1=±（注意不要丢解）∴x=∴原方程的解为x1=,x2=2.配方法：用配方法解方程ax2 bx c=0(a≠0)先将常数c移到方程右边：ax2 bx=-c将二次项系数化为1:x2 x=-方程两边分别加上一次项系数的一半的平方：x2 x ()2=- ()2方程左边成为一个完全平方式：（x ）2=当b2-4ac≥0时，x =±∴x=（这就是求根公式）例2.用配方法解方程3x2-4x-2=0将常数项移到方程右边3x2-4x=2将二次项系数化为1:x2-x=方程两边都加上一次项系数一半的平方：x2-x ()2= ()2配方：（x-）2=直接开平方得：x-=±∴x=∴原方程的解为x1=,x2=.3.公式法：把一元二次方程化成一般形式，然后计算判别式△=b2-4ac的值，当b2-4ac≥0时，把各项系数a,b,c的值代入求根公式x=[-b±（b^2-4ac）^(1/2)]/(2a),(b^2-4ac≥0)就可得到方程的根.例3.用公式法解方程2x2-8x=-5将方程化为一般形式：2x2-8x 5=0∴a=2,b=-8,c=5b^2-4ac=(-8)2-4*2*5=64-40=24>0∴x=[(-b±（b^2-4ac）^(1/2)]/(2a)∴原方程的解为x1=,x2=.4.因式分解法：把方程变形为一边是零，把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式，让两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得到的根，就是原方程的两个根.这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法.。

绝对值一元二次方程解法

　　方法一；分类讨论，即找出分段点，考虑当绝对值符号内数式等于o时，x取值，由此分划x取值范围.例如处理∣x 4∣将x范围分为x小于-4,x等于-4及x大于-4，这样消去了绝对值，将原方程转化为普通方程，进而求解.又如解∣x∣2-4=3∣x∣时分别考虑x大于0，等于0及小于0三种情况.但需要检验结果.（如给定方程考虑当x大于0时解得x=-6，矛盾！）关于划分范围的方法若不是很熟练，可参看百科“零点分段法”.方法二：整体换元.例如解x2-4=6∣x∣，如果分类讨论，虽然可行但较为繁琐.这里，我们可以将x2看成∣x∣2，则有∣x∣2-4=6∣x∣，把∣x∣视为未知数求解，解得∣x∣再分情况讨论（上一题也可以），运算量就明显降低.从这里就可看出换元法的一个优点，形象的说，就是“过河拆桥”.当然有些含绝对值的一元二次方程并非一定要使用此两种方法（但这两种方法一般而言适用性很强）.对于有些解法较为巧妙的试题（例如求含绝对值的二元二次方程组解的个数），可以通过观察，分析问题本质，设而不求，有时也是一种思路.总之试题千变万化，因此解法也不必拘泥于以上两种方法.。