初中数学课件：二元一次方程的解法有哪些？

作者：卢鸿鹏时间：2023-07-18 00:07:05

导读：" 二元一次方程是初中数学中的重要内容，解决二元一次方程可以帮助我们理解数学中的代数问题。下面是解决二元一次方程的几种常见方法：1.代入法：将一个变量的表达式代入另一个变量的方程中，然后求解得到一个变量的值，再将该值代入另一个变量的方程中求解得到另一个变量的值。2."

　　二元一次方程是初中数学中的重要内容，解决二元一次方程可以帮助我们理解数学中的代数问题。下面是解决二元一次方程的几种常见方法：

　　1.代入法：将一个变量的表达式代入另一个变量的方程中，然后求解得到一个变量的值，再将该值代入另一个变量的方程中求解得到另一个变量的值。

　　2.消元法：通过将两个方程相减或相加，从而消去一个变量，然后求解得到另一个变量的值，再将该值代入其中一个方程中求解得到另一个变量的值。

　　3.列表法：将两个方程分别列成表格的形式，然后通过观察表格中的数值规律，找到使得两个方程同时成立的变量值。

　　4.图解法：将两个方程转化为直线的形式，然后通过图形的交点或平行关系来求解方程的解。

　　5.求解公式法：根据二元一次方程的一般形式，利用求解一元一次方程的公式，直接求解方程的解。

　　6.矩阵法：将二元一次方程转化为矩阵的形式，然后通过矩阵运算来求解方程的解。

　　7.分离变量法：将方程中的变量分离，然后分别对两个方程进行求解，最后将得到的解合并起来得到方程的解。

　　通过掌握以上几种解法，我们可以更灵活地解决二元一次方程的问题，提高数学解题的效率和准确性。同时，我们也可以通过练习不同的解法来加深对二元一次方程的理解和掌握。

二元一次方程有哪些解法

　　一元二次方程有四种解法：直接开平方法；配方法；公式法；因式分解法。解一元二次方程的基本思想方法为通过“降次”将它化为两个一元一次方程。

1、直接开平方法

　　形如x2戚悄=p或（nx m）2=p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方法解一元二次方程。

　　如果方程化成x2=p的形式，那么可得x=±√p。

　　如果方程能化成（nx m）2=p（p≥0）的形式，那么nx m=±√p，进而得出方程的根。

　　2、配方法：用配方法解方程ax2 bx c=0(a≠0)，先将常数c移到方程右边，将二次项系数化为1，方程两边分别加上一次项系数的一半的平方，方程左边成为一个完全平方式。

　　3、公式法：把一元二次方程化成一般形式，然后计算判别式△=b2-4ac的值，当b2-4ac≥0时，把各项系数a，b，c的值代入求根公式就可得到方程的根。

　　4、因式分解法：把方程变形为一边是零，把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式，让两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得到的根，就是原方程的两个根。

注意事项

　　公元前300年左右，古希腊的欧几里得（Euclid）（约前330年～前275年）提出了用一种更抽象的几何方法求解二次方程。古希腊的丢番图（Diophantus）（246～330）在解一元二次方程的过程中，却只取二次方程的纯御一个正根，即使遇到两个都是正根的情况，他亦只取其中之一。

公元628年，印度的婆罗摩笈多（Brahmagupta）（约598～约660）出版了《婆罗摩修正体系》，得到了一元二次方程

　　的一个求根公式。

　　公元820年，阿拉伯的阿尔·花剌子模（al-Khwārizmi）（780～810）出版了《代数学》。

　　书中讨论到方程的解法，除了给出二次方高裤渣程的几种特殊解法外，还第一次给出了一元二次方程的一般解法，承认方程有两个根，并有无理根存在，但却未有虚根的认识。

　　他把方程的未知数叫做“根”，后被译成拉丁文（radix）。

　　其中涉及到六种不同的形式，令a，b，c为正数，如。

　　把二次方程分成不同形式作讨论，是依照丢番图的做法。

　　法国的韦达（1540～1603）除推出一元方程在复数范围内恒有解外，还给出了根与系数的关系。

二元一次方程的解法有哪些?

　　二元一次方程的解法有：代入消元法、图像法、换元法。

加减法解二元一次方程组的步骤：

　　①利用等式的基本性质，将原方程组中某个未知数的系数化成相等或相反数的形式。

　　②再利用等式的基本性质将变形后的两个方程相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程（一定要将方程的两边都乘以同一个数，切忌只乘以一边，然后若未知数系数相等则用减法，若未知数系迹念改数互为相反数，则用加法）。

　　③解这个一元一次方程，求出未知数的值。

　　④将求得的未知数的值代入原方程组中的任何一个方程中，求出另一个未知数的值。

对二元一次方程的解的理解应注意以下几点：

　　①一般地，一个二元一次方程的解有无姿判数个，且每一个解都是指一对数值，而不是指单独的一个未知数的值。

　　②二元一次方程的一个解是指使方程左右两边相等的一对未知数的值；反过来，如果一组数值能使二元一次方程左右两边相等，那么这一组数值就是方程的解。

　　③在求二元一次方程的解时，通常的做法高悄是用一个未知数把另一个未知数表示出来，然后给定这个未知数一个值，相应地得到另一个未知数的值，这样可求得二元一次方程的一个解。

初中数学课件:二元一次方程

　　【#课件#导语】课件在数学课堂教学中运用，它对于提高教学效率、增加学生的知识容量、激首培发学生的学习兴趣起到了不可估量的作用，为数学教学打开了更加广阔的新天地。下面是整理分享的初中数学课件：二元一次方程，欢迎阅读与借鉴。

【应用二元一次方程组——鸡兔同笼】

　　教学目标：

　　知识与技能目标：

　　　　通过对实际问题的分析，使学生进一步体会方程组是刻画现实世界的有效数学模型，初步掌握列二元一次方程组解应用题．初步体会解二元一次方程组的基本思想“消元”。

　　　　培养学生列方程组解决实际问题的意识，增强学生的数学应用能力。

　　过程与方法目标：

　　　　经历和体验列方程组解决实际问题的过程，进一步体会方程（组）是刻画现实世界的有效数学模型。

　　情感态度与价值观目标：

　　1.进一步丰富学生数学学习的成功体验，激发学生对数学学习的好奇心，进一步形成积极参与数学活动、主动与他人合作交流的意识.

　　　　2．通过"鸡兔同笼"，把同学们带入古代的数学问题情景，学生体会到数学中的"趣"；进一步强调课堂与生活的联系，突出显示数学教学的实际价值，培养学生的人文精神。重点：

　　　　经历和体验列方程组解决实际问题的过程；增强学生的数学应用能力。

　　难点：

　　　　确立等量关系，列出正确的二元一次方程组。

　　教学流程：

　　课前回顾

　　复习：列一元一次方程解应用题的一般步骤

　　情境引入

　　探究1：今有鸡兔同笼，

　　上有三十五头，

　　下有九十四足，

　　问鸡兔各几何？

　　“雉兔同笼”题：今有雉（鸡）兔同笼，上有35头，下有94足，问雉兔各几何？

　　（1）画图法

　　用表示头，先画35个头

　　将所有头都看作鸡的，用表示腿，画出者唯唯了70只腿

　　还剩24只腿，在每个头上在加两只腿，共12个头加了两只腿

　　四条腿的是兔子(12只），两条腿的是鸡（23只）

　　（2）一元一次方程法：

　　鸡头＋兔头＝35

　　鸡脚＋兔脚＝94

　　设鸡有x只，则兔有(35－x)只，据题意得：

　　2x＋4（35－x）＝94

　　比算术法容易理解

　　想一想：那我们能不能用更简单的方法来解决这些问题呢？

　　回顾上节课学习过的二元一次方程，能不能解决这一问题?

　　（3）二元一次方程法

　　今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？

　　（1）上有三十五头的意思是鸡、兔共有头35个，

　　下有九十四足的意思是鸡、兔共有脚94只.

　　　　（2）如设鸡有x只，兔有y只，那么鸡兔共有（x y）只；

　　　　鸡足有2x只；兔足有4y只.

　　解：设笼中有鸡x只，有兔y只，由题意可得：

　　鸡兔合计头xy35足2x4y94

　　解此方程组得：

　　练习1:

　　1.设甲数为x，乙数为y，则“甲数的二倍与乙数的一半的和是15”，列出方程为_2x 05y=15

　　2.小刚有5角硬币和1元硬币各若干枚，币值共有六元五角，设5角有x枚，1元有y枚，列出方程为05x y=65.

　　三、合作探究

　　　　探究2：以绳测井。

　　若将绳三折测之，绳多五尺；若将绳四折测之，绳多一尺。

　　绳长、井深各几何？。

　　　　题目大意：用绳子测水井深度，如果将绳子折成三等份，一份绳长比井深多5尺；如果将绳子折成四等份，一份绳长比井深多1尺。问绳长、井深各是多少尺？

　　找出等量关系：

　　解：设绳长x尺，井深y尺，则由题意得

　　x=48

　　　　将x=48y=11。

　　　　所以绳长4811尺。

　　想一想：找出一种更简单的创新解法吗？

　　引导学生逐步得出更简单的方法：

　　找出等量关系：

　　（井深 5）×3=绳长

　　（井深 1

　　解：设绳长x尺，井深y尺，则由题意得

　　3(y 5)=x

　　4(y 1)=x

　　x=48

　　y=11

　　　　所以绳长48尺，井深11尺。

　　　　练习2：甲、乙两人赛跑，若乙先跑10米，甲跑5秒即可追上乙；若乙先跑2秒，则甲跑4秒就可追上乙.设甲速为x米/秒，乙速为y米/秒，则可列方程组为(B).

　　归纳：

　　山段列二元一次方程解决实际问题的一般步骤：

　　审：审清题目中的等量关系．

　　设：设未知数．

　　列：根据等量关系，列出方程组．

　　解：解方程组，求出未知数．

　　答：检验所求出未知数是否符合题意，写出答案．

　　四、自主思考

　　　　探究3：用长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图中竖式和横式的两种无盖纸盒。现在仓库里有1000张正方形纸板和2000张长方形纸板，问两种纸盒各做多少只，恰好使库存的纸板用完？

　　　　解：设做竖式纸盒X个，横式纸盒y个。根据题意，得

　　x 2y=1000

　　4x 3y=2000

　　解这个方程组得x=200

　　y=400

　　　　答:设做竖式纸盒200个，横式纸盒400个，恰好使库存的纸板用完。

　　练习3：上题中如果改为库存正方形纸板500，长方形纸板1001张，那么，能否做成若干只竖式纸盒和若干只横式纸盒后，恰好把库存纸板用完？

　　解：设做竖式纸盒x个，做横式纸盒y个，根据题意

　　y不是自然数，不合题意，所以不可能做成若干个纸盒，恰好不库存的纸板用完．

　　归纳：

　　五、达标测评

　　1.解下列应用题

　　（1）买一些4分和8分的邮票，共花6元8角，已知8分的邮票比4分的邮票多40张，那么两种邮票各买了多少张？

　　解：设4分邮票x张，8分邮票y张，由题意得：

　　4x 8y=6800①

　　y-x=40②

　　所以，4分邮票540张，8分邮票580张

　　（2）一项工程，如果全是晴天，15天可以完成，倘若下雨，雨天一天只能完成晴天

　　　　的工作量。

　　现在知道在施工期间雨天比晴天多3天。

　　问这项工程要多少天才能完成。

　　分析：由于工作总量未知，我们将其设为单位1

　　晴天一天可完成

　　雨天一天可完成

　　解：设晴天x天，雨天y天，工作总量为单位1，由题意得：

　　总天数：7 10=17

　　所以，共17天可完成任务

　　六、应用提高

　　　　学校买铅笔、圆珠笔和钢笔共232支，共花了300元。

　　其中铅笔数量是圆珠笔的4倍。

　　已知铅笔每支0.60元，圆珠笔每支2.7元，钢笔每支6.3元。

　　问三种笔各有多少支？。

　　分析：铅笔数量圆珠笔数量钢笔数量=232

　　铅笔数量=圆珠笔数量×4

　　铅笔价格圆珠笔价格钢笔价格=300

　　解：设铅笔x支，圆珠笔y支，钢笔z支，根据题意，可得三元一次方程组：

　　将②代入①和③中，得二元一次方程组

　　4y y z=232④

　　0.6×4y 2.7x 6.3z=300⑤

　　解得

　　所以，铅笔175支，圆珠笔44支，钢笔12支

　　七、体验收获

　　1.解决鸡兔同笼问题

　　2.解决以绳测井问题

　　3.解应用题的一般步骤

　　七、布置作业

　　　　教材116页习题第2、3题。

　　x y=35

　　2x 4y=94

　　x=23

　　y=12

　　绳长的三分之一-井深=5

　　绳长的四分之一-井深=1

　　-y=5①

　　①-②，得

　　-y=1②

　　-y=5①

　　X=540

　　Y=580

　　y-x=3②

　　x=7

　　y=10

　　x y z=232①

　　x=4y②

　　0.6x 2.7y 6.3z=300③

　　X=176

　　Y=44

　　Z=12

【二元一次方程组的解法—代入法】

　　教学内容：人教版七年级数学下册第八章二元一次方程组第2节P96页

　　教学目标

　　　　（1）基础知识与技能目标：会用代入消元法解简单的二元一次方程组。

　　　　（2）过程与方法目标：经历探索代入消元法解二元一次方程的过程，理解代入消元法的基本思想所体现的化归思想方法。

　　　　（3）情感、态度与价值观目标：通过提供适当的情境资料，吸引学生的注意力，激发学生的学习兴趣；在合作讨论中学会交流与合作，培养良好的数学思想，逐步渗透类比、化归的意识。

　　教学重、难点关键

　　教学重点：用代入消元法解二元一次方程组

　　　　教学难点：探索如何用代入消元法解二元一次方程组，感受“消元”思想。

　　　　教学关键：把方程组中的某个方程变形，而后代入另一个方程中去，消去一个未知数，转化成一元一次方程。学生分析授课对象为少数民族地区的七年级学生，基础知识薄弱，特别是对一元一次方程内容掌握的不够透彻，再加上厌学现象严峻，团结协作的能力差，本节课设计了他们感兴趣的篮球比赛和常用的消毒液作为题材来研究二元一次方程组，既能调动他们的学习兴趣,又能解决本节课所涉及到的问题，为以后的进一步学习二元一次方程组做好铺垫。

　　　　教学内容分析：本节主要内容是在上节已认识二元一次方程（组）和二元一次方程（组）的解等概念的基础上，来学习解方程组的第一种方法——代入消元法。

　　并初步体会解二元一次方程组的基本思想“消元”。

　　二元一次方程组的求解，不但用到了前面学过的一元一次方程的解法，是对过去所学知识的一个回顾和提高，同时，也为后面的利用方程组来解决实际问题打下了基础。

　　通过实际问题中二元一次方程组的应用，进一步增强学生学习数学、用数学的意识，体会学数学的价值和意义。

　　初中阶段要掌握的二元一次方程组的消元解法有代入消元法和加减消元法两种，教材都是按先求解后应用的顺序安排，这样安排既可以在前一小节中有针对性的学习解法，又可在后一小节的应用中巩固前面的知识，但教材相对应的练习安排较少，不过这样也给了学生一较大的发挥空间。

　　教具准备教师准备：ppt多媒体课件投影仪

　　　　教学方法本节课采用“问题引入——探究解法——归纳反思”的教学方法，坚持启发式教学。

　　教学过程

　　（一）创设情境，导入新课篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得2分，负一场得1分，保安族中学校队为了争取较好的名次，想在全部22场比赛中得到40分，那么这个队胜负场数分别是多少？

　　（二）合作交流，探究新知第一步，初步了解代入法1、在上述问题中，除了用一元一次方程解答外，我们还可以设出两个未知数，列出二元一次方程组学生活动：分别列出一元一次方程和二元一次方程组，两个学生板演①设胜的场数是x,负的场数是y

　　x＋y＝22

　　2x＋y＝40

　　②设胜的场数是x，则负的场数为22－x

　　2x (22－x)=40

　　2、自主探究，小组讨论那么怎样求解二元一次方程组呢？上面的二元一次方程组和一元一次方程有什么关系？

　　　　3、学生归纳，教师作补充上面的解法，第一步是由二元一次方程组中一个方程，将一个未知数用含另一未知数的式子表示出来，再代入另一方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解。这种方法叫做代入消元法，简称代入法。

　　第二步，用代入法解方程组把下列方程写成用含x的式子表示y的形式（1）2x－y＝5（2）4x＋3y－1＝0学生活动：尝试自主完成，教师纠正思考：能否用含y的式子来表示x呢？

　　例1用代入法解方程组x－y＝3①3x－8y＝14②

　　　　思路点拨：先观察这个方程组中哪一项系数较小，发现①中x的系数为1，这样可以确定消x较简单，首先用含y的代数式表示x,而后再代入②消元。

　　解：由①变形得X=y 3③

　　把③代入②，得3（y 3）－8y=14

　　解这个方程，得y=－1

　　把y=－1代入③，得X=2

　　所以这个方程组的解是X=2y=－1

　　如何检验得到的结果是否正确？学生活动：口答检验．

　　第三步，在实际生活中应用代入法解方程组

　　　　例2根据市场调查，某种消毒液的大瓶装（500g）和小瓶装（250g）两种产品的销售数量（按瓶计算）比为2:5.某厂每天生产这种消毒液22.5吨，这些消毒液应该分装大、小瓶装两种产品各多少瓶？思路点拨：本题是实际应用问题，可采用二元一次方程组为工具求解，这就需要构建模型，寻找两个等量关系，从题意可知：大瓶数：小瓶数=2：5；大瓶所装消毒液小瓶所装消毒液=总生产量(解题过程略)教师活动：启发引导学生构建二元一次方程组的模型。学生活动：尝试设出：这些消毒液应该分装x个大瓶和y个小瓶，得到5x=2y500x 250y=22500000并解出x=20000y=50000

　　　　第四步，小组讨论，得出步骤学生活动：根据例1、例2的解题过程，你们能不能归纳一下用代入法解二元一次方程组的步骤呢？小组讨论一下。学生归纳，教师补充，总结出代入法解二元一次方程组的步骤：①选取一个系数较简单的二元一次方程变形，用含有一个未知数的代数式表示另一个未知数；②将变形后的方程代入另一个方程中，消去一个未知数，得到一个一元一次方程（在代入时，要注意不能代入原方程，只能代入另一个没有变形的方程中，以达到消元的目的.）；③解这个一元一次方程，求出未知数的值；④将求得的未知数的值代入①中变形后的方程中，求出另一个未知数的值；⑤用“{”联立两个未知数的值，就是方程组的解；⑥最后检验求得的结果是否正确（代入原方程组中进行检验，方程是否满足左边=右边）.

　　　　（三）分组比赛，巩固新知为了激发学生的兴趣，巩固所学的知识，我把全班分成4个小组，把书本P98页练习设计成必答题、抢答题和风险题几个集知识性、趣味性于一体的独立版块，练习是由易到难、由浅到深，以小组比赛的形式呈现出来，这样既提高了学生的积极性，培养了团队精神，也使各类学生的能力都得到不同的发展。

　　（四）归纳总结，知识回顾1、通过这节课的学习活动，你有什么收获？2、你认为在运用代入法解二元一次方程组时，应注意什么问题？

　　　　(五)布置作业1、作业：P103页第1、2、4题2、思考：提出在日常生活中可以利用二元一次方程组来解决的实际问题。设计说明代入消元法体现了数学学习中“化未知为已知”的化归思想方法，化归的原则就是将不熟悉的问题化归为比较熟悉的问题，用于解决新问题．基于这点认识，本课按照“身边的数学问题引入—寻求一元一次方程的解法—探索二元一次方程组的代入消元法—典型例题—归纳代入法的一般步骤”的思路进行设计．在教学过程中，充分调动学生的主观能动性和发挥教师的主导作用，坚持启发式教学．教师创设有趣的情境，引发学生自觉参与学习活动的积极性，使知识发现过程融于有趣的活动中．重视知识的发生过程．将设未知数列一元一次方程的求解过程与二元一次方程组相比较，从而得到二元一次方程组的代入（消元）解法，这种比较，可使学生在复习旧知识的同时，使新知识得以掌握，这对于学生体会新知识的产生和形成过程是十分重要的．