函数是什么？能不能详细解释一下？

作者：贾徐良时间：2023-07-23 13:51:36

导读：" 函数是编程中的一个重要概念，它是一段封装了特定功能的代码块。通过函数，我们可以将代码分解为小块，使程序更加模块化、可读性更高、易于维护。函数可以接受输入参数，并根据这些参数执行特定的操作，最后返回一个结果。*函数的定义和声明：-函数由关键字`def`开始，后跟函"

　　函数是编程中的一个重要概念，它是一段封装了特定功能的代码块。

　　通过函数，我们可以将代码分解为小块，使程序更加模块化、可读性更高、易于维护。

　　函数可以接受输入参数，并根据这些参数执行特定的操作，最后返回一个结果。

*函数的定义和声明：

　　-函数由关键字`def`开始，后跟函数名和参数列表。

　　-参数列表中定义了函数接受的输入参数，可以是零个或多个。

　　-函数体是函数的实际代码块，用来执行特定的操作。

　　-函数可以选择性地使用`return`语句来返回一个值或结果。

*函数的调用和参数传递：

　　-通过函数名和参数列表来调用函数。

　　-调用函数时，可以传递参数给函数。

　　-参数可以是实际值，也可以是变量。

　　-函数使用传递的参数来执行操作，并返回结果。

*函数的作用域和局部变量：

　　-函数有自己的作用域，函数内部定义的变量只在函数内部可见。

　　-这些变量被称为局部变量，它们只在函数被调用时存在并被使用。

　　-函数可以访问全局变量，但不能修改它们的值，除非使用`global`关键字。

*函数的递归和调用栈：

　　-函数可以调用自身，这种称为递归。

　　-递归函数通过不断调用自身来解决问题。

　　-每次递归调用会创建一个新的函数帧并入栈，直到满足终止条件。

　　-当终止条件满足时，函数帧出栈并返回结果。

*函数的返回值和多值返回：

　　-函数可以使用`return`语句返回一个值或结果。

　　-返回值可以是任意类型的数据。

　　-函数也可以返回多个值，用逗号分隔。

*函数的高阶特性：

　　-函数可以作为参数传递给其他函数。

　　-函数可以在运行时动态创建和修改。

　　-函数可以存储在变量中。

　　通过使用函数，我们可以将复杂的问题分解为小的、可重用的部分，提高代码的可读性和可维护性。函数是编程中必不可少的工具，它可以帮助我们组织代码、提高代码复用性，并提供更多的灵活性和扩展性。

什么是函数?

　　函数的定义：给定一个数集A，假设其中的元素为x。

　　现对A中的元素x施加对应法则f，记作f（x），得到另一数集B。

　　假设B中的元素为y。

　　则y与x之间的等量关系可以用y=f（x）表示。

　　我们把这个关系式就叫函数关系式，简称函数。

　　函数概念含有三个要素：定义域A、值域C和对应法则f。

　　其中核心是对应法则f，它是函数关系的本质特征。

扩展资料

表示

　　首先要理解，函数是发生在集合之间的一种对应关系。

　　然后，要理解发生在A、B之间的函数关系不止且不止一个。

　　最后，要重点理解函数的三要素。

　　函数的对应法则通常用解析式表示，但大量的函数关系是无法用解析式表示的，可以用图像、表格及其他形式表知轮示。

概念

　　在一个变化过程中，发生变化的量叫变量（数学中，常常为x，而y则随x值的变化而变化），有些数值是不随变量而改变的，我们称它们为常量。

　　自变量（函数）：一个与它量有关联的变量，这一量中的任何一值都能在它量中找到对应的固定值。

　　因变量（函数）：随着自变量的变化而变化，且自变量取唯一值时，因变量（函数）有且只有唯一值与其相对应。

　　函数值：在y是x的函数中，x确定一个值，y就随之确定一个值，当x取a时，y就随之确定为b，b就叫做a的函数值。

映射定义

　　设A和B是两个非空集合，如果按照某种对应关系，对于集合A中的任何一个元素a，在集合B中都存在唯一的一个元素b与之对应，那么，这样的对应（包括集合A，B，以及集合A到集合B的对应关系f）叫做集合A到集合B的映射（Mapping），记作。

　　其中，b称为a在映射f下的象，记作：;a称为b关于映射f的原象。

　　集合A中所有元素的象的集合记作f（A）。

　　则有：定义在非空数集之间的映射称为函数。（函数的自变量是一种特殊的原象，因变量是特租猛槐殊的象）

几何含义

　　函数与不等式和方程存在联系（初等函数）。

　　令函数值等于零，从几何角度看，对应的自变量的值就是图像与X轴的交点的横坐标；从代数角度看，对应的自变量是方程的解。

　　另外，把函数的表达式（无表达式的函数除外）中的“=”换成“<”或“>”，再把“Y”换成其它代数式，函数就变成了不等式，可以求自变量的范围。

集合论

如果X到Y的二元关系，对于每个，都有唯一的，使得，则称f为X到Y的函数，记做：

参考资料函弊友数（数学函数）_百度百科

函数是什么意思

　　函数的解释[function]彼此相关的两个量之一,他们的关系是一个量的诸值与另外一个量的诸值相对应详细解释称因变数。

　　数学名词。

　　在互相关联的两个数中，如甲数变化，乙数亦随甲数的变化而变化，则乙数称为甲数的函数。

　　如某种布每尺价格一定，则买的尺数越多，应付金额也越多。

　　应付的金额即尺数的函数。

　　词语分陆团碰解函的解释函á匣，盒子：石函。

　　剑函或桥。

　　套子，引申为量词：书函。

　　信一函（信一封）。

　　信件：函件。

　　公函。

　　来函。

　　包含，容纳：函夏（“夏”，指中国；“函夏”即包括整个中国）。

　　巨蚌函珠。

　　铠甲：函人（制甲的人）。

　　早谈数的解释数（数）ù表示、划分或计算出来的量：数目。

　　数量。

　　数词。

　　数论（数学的一支，主要研究正整数的性质以及和它有关的规律）。

　　数控。

　　几，几个：数人。

　　数日。

　　技艺，学术：“今夫弈之为数，小数也”。

　　命运，天。

什么是函数啊具体解释一下谢谢合作!

　　函数是一种对应关系。

　　它通过自己的对应法则将自变量和因变量联系在一起。

　　比如函数Y=X 1。

　　自变量为X，因变量为Y，当告兄型诉羡好猜你一个袜敏X值（假定为2）的时候，我们就可以根据这种对应法则求出因变量Y的值（3）。

如何解释什么是函数呢?

　　函数是发生在集合之间的一种对应关系。

　　然后，要理解发生在A、B之间的函数关系有且不止一个。

　　最后，要重点理解函数的三要素。

　　通常分为传统定义和近代定义，函数的两个定义本质是相同的，只是叙述概念的出发点不同，传统定义是从运动变化的观点出发，而近代定义是从集合、映射的观点出发。

　　自闭谈变量（函数）：一个与它量有关联的变量，这一量中的任何一值都能在它量中找到对应的固定值。

　　因变量（函数）：随着自变量的变化而变化，且自变量取唯一值时，因变量（函数）有且只有唯一值与其相对应。

　　函数值：在y是x的函数中，x确定一个值，y就随之确定一个值，当x取a时，y就随之确定为b，b就叫做a的函数值。

函数的由来：

　　中文数学书上使用的“函数”一词是转译词。是我国清代数学家渣核李善兰在翻译《代数学》（1859年）一书时，把“function”译成“函数”的。

　　中国古代“函”字与“含”字通用，都有着“包含”的意思。

　　李善兰给出的定义是：“凡式中含天，为天之函数。

　　”中国古代用天、地、人、物4个字来表示4个不同的未知数或变量。

　　这个定义的含义是：“如态掘凡是公式中含有变量x，则该式子叫作x的函数。

　　”。

　　所以“函数”是指公式里含有变量的意思。

　　我们所说的方程的确切定义是指含有未知数的等式。

　　但是方程一词在我国早期的数学专著《九章算术》中，意思指的是包含多个未知量的联立一次方程，即所说的线性方程组。

什么是函数?回答的请简单易懂点

　　在数学领域，函数是一种关系，这种关系使一个集合里的每一个元素对应到另一个（可能相同的）集合里的唯一元素。

----Avariablesorelatedtoanotherthatforeachvalueassumedbyonethereisavaluedeterminedfortheother.

　　自变量，函数一个与他量有关联的变量，这一量中的任何一值都能在他量中找到对应的固定值。

----Aruleofcorrespondencebetweentwosetssuchthatthereisauniqueelementinthesecondsetassignedtoeachelementinthefirstset.

　　函数两组元素一一对应孝档的规则，第一组中的每个元素在第二组中只有唯一的对应量。

　　函数的概念对于数学和数量学的巧笑乱每一个分支来说都是最基础的。

functions

　　数学中的一种对应关系，是从非空集合A到实数集B的对应。

　　简单地说，甲随着乙变，甲就是乙的函数。

　　精确地说，设X是一个非空集合，Y是非空数集，f是个对应法则，若对X中的每个x，按对应法则f，使Y中存在唯一的一个元素y与之对应，就称对应法则f是X上的一个函数，记作y＝f（x），称X为函数f（x）的定义域，集合{y|y=f（x），x∈X}为其值域（值域是Y的子集），x叫做自变量，y叫做因变量，习惯上也说y是x的函数。

　　若先定义映射的概念，可以简单定义函数为：定义在非空数集之间的映射称为函数。

　　例1：y＝sinxX＝〔0，2π〕，Y＝〔－1，1〕，它给出了一个函数关系。当然，把Y改为Y1＝（a，b），a＜b为任意实数，仍然是一个函数关系。

　　其深度y与一岸边点O到测量点的距离x之间的对应关系呈曲线，这代表一个函数，定义域为〔0，b〕。以上3例展示了函数的三种表示法：公式法，表格法和图像法。

复合函数

有3个变量，y是u的函数，y＝ψ（u），u是x的函数，u＝f（x），往往能形成链：y通过中间变量u构成了x的函数：

　　x→u→y，这要看定义域：设ψ的定义域为U。

　　f的值域为U，当U*íU时，称f与ψ构成一个复合函数，例如y＝lgsinx，x∈（0，π）。

　　此时sinx＞0，lgsinx有意义。

　　但如若规定x∈（－π，0），此时sinx＜0，lgsinx无意义，就成不了复合函数。

反函数

　　就关系而言，一般是双向的，函数也如此，设y＝f（x）为已知的函数，若对每个y∈Y，有唯一的x∈X，使f（x）＝y，这是一个由y找x的过程，即x成了y的函数，记为x＝f-1（y）。

　　称f-1为f的反函数。

　　习惯上用x表示自变量，故这个函数仍记为y＝f-1（x），例如y＝sinx与y＝arcsinx互为反函数。

　　在同一坐标系中，y＝f（x）与y＝f-1（x）的图形关于直线y＝x对称。

隐函数

　　若能由函数方程F（x，y）＝0确定y为x的函数y＝f（x），即F（升雀x，f（x））≡0，就称y是x的隐函数。

思考：隐函数是否为函数？因为在其变化的过程中并不满足“一对一”和“多对一”

多元函数

　　设点（x1，x2，…，xn）∈GíRn，UíR1，若对每一点（x1，x2，…，xn）∈G，由某规则f有唯一的u∈U与之对应：f：G→U，u＝f（x1，x2，…，xn），则称f为一个n元函数，G为定义域，U为值域。

　　基本初等函数及其图像幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数称为基本初等函数。

　　①幂函数：y＝xμ（μ≠0，μ为任意实数）定义域：μ为正整数时为（－∞，＋∞），μ为负整数时是（－∞，0）∪（0，＋∞）；μ＝(α为整数)，当α是奇数时为（－∞，＋∞），当α是偶数时为（0，＋∞）；μ＝p／q,p,q互素，作为的复合函数进行讨论。略图如图2、图3。

　　②指数函数：y＝ax（a＞0，a≠1），定义成为（－∞，＋∞），值域为（0，＋∞），a＞0时是严格单调增加的函数（即当x2＞x1时，），0＜a＜1时是严格单减函数。

　　对任何a，图像均过点（0，1），注意y＝ax和y＝（）x的图形关于y轴对称。

　　如图4。

　　③对数函数：y＝logax（a＞0），称a为底，定义域为（0，＋∞），值域为（－∞，＋∞）。

　　a＞1时是严格单调增加的，0＜a＜1时是严格单减的。

　　不论a为何值，对数函数的图形均过点（1，0），对数函数与指数函数互为反函数。

　　如图5。

　　以10为底的对数称为常用对数，简记为lgx。在科学技术中普遍使用的是以e为底的对数，即自然对数，记作lnx。

　　④三角函数：见表2。

　　正弦函数、余弦函数如图6，图7所示。

　　⑤反三角函数：见表3。双曲正、余弦如图8。

　　⑥双曲函数：双曲正弦（ex－e-x），双曲余弦（ex＋e-x），双曲正切（ex－e-x）／（ex＋e-x），双曲余切（ex＋e-x）／（ex－e-x）。

　　在数学领域，函数是一种关系，这种关系使一个集合里的每一个元素对应到另一个（可能相同的）集合里的唯一元素（这只是一元函数f（x）＝y的情况，请按英文原文把普遍定义给出，谢谢）。函数的概念对于数学和数量学的每一个分支来说都是最基础的。

　　术语函数，映射，对应，变换通常都是同一个意思。

二次函数

I.定义与定义表达式

一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：

y=ax2 bx c（a，b，c为常数，a≠0）

　　则称y为x的二次函数。

　　二次函数表达式的右边通常为二次三项式。

II.二次函数的三种表达式

一般式：y=ax2 bx c（a，b，c为常数，a≠0）

顶点式：y=a(x-h)2 k[抛物线的顶点P（h，k）]

交点式：y=a(x-x1)(x-x2)[仅限于与x轴有交点A（x1，0）和B（x2，0）的抛物线]

注：在3种形式的互相转化中，有如下关系:

h=-b/2ak=(4ac-b2)/4ax1,x2=(-b±√b2-4ac)/2a

III.二次函数的图象

在平面直角坐标系中作出二次函数y=x2的图象，

　　可以看出，二次函数的图象是一条抛物线。

IV.抛物线的性质

　　1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线

　　x=-b/2a。

　　对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。

特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）

2.抛物线有一个顶点P，坐标为

　　P[-b/2a，(4ac-b2)/4a]。

　　当-b/2a=0时，P在y轴上；当Δ=b2-4ac=0时，P在x轴上。

　　3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。

　　当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口。

　　|a|越大，则抛物线的开口越小。

　　4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。

　　当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；

　　当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右。

　　5.常数项c决定抛物线与y轴交点。

抛物线与y轴交于（0，c）

6.抛物线与x轴交点个数

　　Δ=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点。

　　Δ=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。

　　Δ=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点。

V.二次函数与一元二次方程

特别地，二次函数（以下称函数）y=ax2 bx c，

当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程（以下称方程），

即ax2 bx c=0

　　此时，函数图象与x轴有无交点即方程有无实数根。

　　函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。

一次函数

I、定义与定义式：

自变量x和因变量y有如下关系：

y=kx b（k，b为常数，k≠0）

　　则称y是x的一次函数。

　　特别地，当b=0时，y是x的正比例函数。

II、一次函数的性质：

y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k

即△y/△x=k

III、一次函数的图象及性质：

　　1．作法与图形：通过如下3个步骤（1）列表；（2）描点；（3）连线，可以作出一次函数的图象——一条直线。因此，作一次函数的图象只需知道2点，并连成直线即可。

　　2．性质：在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式：y=kx b。

　　3．k，b与函数图象所在象限。

　　当k＞0时，直线必通过一、三象限，y随x的增大而增大；

　　当k＜0时，直线必通过二、四象限，y随x的增大而减小。

　　当b＞0时，直线必通过一、二象限；当b＜0时，直线必通过三、四象限。

　　特别地，当b=O时，直线通过原点O（0，0）表示的是正比例函数的图象。

　　这时，当k＞0时，直线只通过一、三象限；当k＜0时，直线只通过二、四象限。

IV、确定一次函数的表达式：

　　已知点A（x1，y1）；B（x2，y2），请确定过点A、B的一次函数的表达式。

　　（1）设一次函数的表达式（也叫解析式）为y=kx b。

　　（2）因为在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式y=kx b。所以可以列出2个方程：

　　y1=kx1 b①和y2=kx2 b②。

　　（3）解这个二元一次方程，得到k，b的值。

　　（4）最后得到一次函数的表达式。

V、一次函数在生活中的应用

　　1.当时间t一定，距离s是速度v的一次函数。s=vt。

　　2.当水池抽水速度f一定，水池中水量g是抽水时间t的一次函数。

　　设水池中原有水量S。

　　g=S-ft。

反比例函数

　　形如y＝k／x(k为常数且k≠0)的函数，叫做反比例函数。

　　自变量x的取值范围是不等于0的一切实数。

　　反比例函数的图像为双曲线。

　　如图，上面给出了k分别为正和负（2和-2）时的函数图像。

三角函数

　　三角函数是数学中属于初等函数中的超越函数的一类函数。

　　它们的本质是任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。

　　通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的，其定义域为整个实数域。

　　另一种定义是在直角三角形中，但并不完全。

　　现代数学把它们描述成无穷数列的极限和微分方程的解，将其定义扩展到复数系。

　　由于三角函数的周期性，它并不具有单值函数意义上的反函数。

　　三角函数在复数中有较为重要的应用。在物理学中，三角函数也是常用的工具。

它有六种基本函数：

函数名正弦余弦正切余切正割余割

符号sincostancotseccsc

正弦函数sin（A）=a/h

余弦函数cos（A）=b/h

正切函数tan（A）=a/b

余切函数cot（A）=b/a

　　在某一变化过程中，两个变量x、y，对于某一范围内的x的每一个值，y都有确定的值和它对应，y就是x的函数。这种关系一般用y=f(x)来表示。

函数概念的发展历史

1.早期函数概念——几何观念下的函数

　　十七世纪伽俐略(G．Galileo，意，1564－1642)在《两门新科学》一书中，几乎全部包含函数或称为变量关系的这一概念，用文字和比例的语言表达函数的关系。1673年前后笛卡尔(Descartes，法，1596－1650)在他的解析几何中，已注意到一个变量对另一个变量的依赖关系，但因当时尚未意识到要提炼函数概念，因此直到17世纪后期牛顿、莱布尼兹建立微积分时还没有人明确函数的一般意义，大部分函数是被当作曲线来研究的。

　　1673年，莱布尼兹首次使用“function”（函数）表示“幂”，后来他用该词表示曲线上点的横坐标、纵坐标、切线长等曲线上点的有关几何量。与此同时，牛顿在微积分的讨论中，使用“流量”来表示变量间的关系。

2.十八世纪函数概念——代数观念下的函数

　　1718年约翰?贝努利(BernoulliJohann，瑞，1667－1748)在莱布尼兹函数概念的基础上对函数概念进行了定义：“由任一变量和常数的任一形式所构成的量。”他的意思是凡变量x和常量构成的式子都叫做x的函数，并强调函数要用公式来表示。

　　1755，欧拉(L．Euler，瑞士，1707－1783)把函数定义为“如果某些变量，以某一种方式依赖于另一些变量，即当后面这些变量变化时，前面这些变量也随着变化，我们把前面的变量称为后面变量的函数。”

　　18世纪中叶欧拉(L．Euler，瑞，1707－1783)给出了定义：“一个变量的函数是由这个变量和一些数即常数以任何方式组成的解析表达式。

　　”他把约翰?贝努利给出的函数定义称为解析函数，并进一步把它区分为代数函数和超越函数，还考虑了“随意函数”。

　　不难看出，欧拉给出的函数定义比约翰?贝努利的定义更普遍、更具有广泛意义。

3.十九世纪函数概念——对应关系下的函数

　　1821年，柯西(Cauchy，法，1789－1857)从定义变量起给出了定义：“在某些变数间存在着一定的关系，当一经给定其中某一变数的值，其他变数的值可随着而确定时，则将最初的变数叫自变量，其他各变数叫做函数。

　　”在柯西的定义中，首先出现了自变量一词，同时指出对函数来说不一定要有解析表达式。

　　不过他仍然认为函数关系可以用多个解析式来表示，这是一个很大的局限。

　　1822年傅里叶（Fourier，法国，1768——1830）发现某些函数也已用曲线表示，也可以用一个式子表示，或用多个式子表示，从而结束了函数概念是否以唯一一个式子表示的争论，把对函数的认识又推进了一个新层次。

　　1837年狄利克雷(Dirichlet，德，1805－1859)突破了这一局限，认为怎样去建立x与y之间的关系无关紧要，他拓广了函数概念，指出：“对于在某区间上的每一个确定的x值，y都有一个或多个确定的值，那么y叫做x的函数。

　　”这个定义避免了函数定义中对依赖关系的描述，以清晰的方式被所有数学家接受。

　　这就是人们常说的经典函数定义。

　　等到康托(Cantor，德，1845－1918)创立的集合论在数学中占有重要地位之后，维布伦(Veblen，美，1880－1960)用“集合”和“对应”的概念给出了近代函数定义，通过集合概念把函数的对应关系、定义域及值域进一步具体化了，且打破了“变量是数”的极限，变量可以是数，也可以是其它对象。

4.现代函数概念——集合论下的函数

　　1914年豪斯道夫(F．Hausdorff)在《集合论纲要》中用不明确的概念“序偶”来定义函数，其避开了意义不明确的“变量”、“对应”概念。库拉托夫斯基(Kuratowski)于1921年用集合概念来定义“序偶”使豪斯道夫的定义很严谨了。

　　1930年新的现代函数定义为“若对集合M的任意元素x，总有集合N确定的元素y与之对应，则称在集合M上定义一个函数，记为y=f(x)。

　　元素x称为自变元，元素y称为因变元。

　　”。

　　术语函数，映射，对应，变换通常都有同一个意思。

　　但函数只表示数与数之间的对应关系，映射还可表示点与点之间，图形之间等的对应关系。可以说函数包含于映射。

正比例函数:

　　正比例函数y=kx（k是常数，k≠0）的图象是一条经过原点的直线．当x>0时，图象经过三、一象限，从左向右上升，即随x的增大y也增大；当k<0时，图象经过二、四象限，从左向右下降，即随x增大y反而减小．

正是由于正比例函数y=kx（k是常数，k≠0）的图象是一条直线，我们可以称它为直线y=kx．

（另：中文“函数”名称的由来

　　在中国清代数学家李善兰（1811—1882）翻译的《代数学》一书中首次用中文把“function”翻译为“函数”，此译名沿用至今。

　　对为什么这样翻译这个概念，书中解释说“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”；这里的“函”是包含的意思。

　　）。

深入研究一次函数

徐若翰

　　在学习一次函数时，根据中学要求，我们还要深入研究它的实际应用，以及如何改变图象的位置。

一、实际问题中的分段函数

　　〔例1〕（2005年武汉市）小明早晨从家骑车到学校，先上坡后下坡，行程情况如图。若返回时上、下一个坡的速度不变，那么小明从学校骑车回家用的时间是多少？

　　分析：上、下坡的速度不同，问题要分两段来研究。

　　根据函数图象提供的信息，可知小明从家去学校时，上坡路程为3600米，下坡路程为9600－3600=6000（米）。

∴上坡速度为3600÷18=200（米/分钟）

下坡速度为6000÷（30－18）=500（米/分钟）

　　小明回家时，上坡路程6000米，下坡路程3600米，所用时间为6000÷200＋3600÷500=37.2（分钟）。

二、在物理学科中的应用

〔例2〕（2004年黄冈市）某班同学在探究弹簧的长度与外力的变化关系时，实验记录得到的相应数据如下表：

　　求y关于x的函数解析式及自变量的取值范围。

　　分析：根据物理学知识可知，弹簧在外力（所挂砝码的重力）作用下发生形变（伸长），外力与指针位置的关系可以用一次函数表示；但是，每个弹簧所受的外力都有一定的限度，因此我们必须求出自变量的取值范围。

由已知数据求出：在弹簧受力伸长过程中，

令y=7.5，得x=275

∴所求函数为

　　注两段之间的分界点是x=275，不是x=300。

三、直线平移的应用

　　〔例3〕（2005年黑龙江省）在直角坐标系中，已知点A（－9，0）、P（0，－3）、C（0，－12）。问：在x轴上是否存在点Q，使以点A、C、P、Q为顶点的四边形是梯形？若存在，求直线PQ的解析式；若不存在，请说明理由。

分析：在所研究的梯形中哪两边平行？有两种可能：如果，就是把直线CA平移，经过P点易求直线CA的解析式为

平移后得到直线的解析式为

如果

把直线PA：平移，经过C点

得到直线：

直线交x轴于点（－36，0）

直线的解析式为

如何理解函数概念

曹阳

　　函数是数学中的一个极其重要的基本概念，在中学数学中，函数及其有关的内容很丰富，所占份量重，掌握好函数的概念对今后的学习非常有用。

　　回顾函数概念的发展史，“函数”作为数学术语是莱布尼兹首次采用的，他在1692年的论文中第一次提出函数这一概念，但其含义与现在对函数的理解大不相同。

　　现代初中数学课程中，函数定义采用的是“变量说”。

　　即：。

　　在某变化过程中，有两个变量x，y，如果对于x在某一范围内的每一个确定的值，按照某个对应法则，y都有唯一确定的值和它对应，那么就把y称为x的函数，x称为自变量，y称为因变量。

　　它明确指出，自变量x在某一给定范围可以取任一个值，因变量y按一定的规律也相应每次取唯一确定的值。但是，初中阶段并不要求掌握自变量的取值范围（看一下初中要学的几个函数可知，这个定义完全够用，而且，对于初中生来说，也容易理解）。

　　函数概念的抽象性很强，学生不易理解，要理解函数概念必须明确两点：第一，明确自变量和因变量的关系，在某变化过程中，有两个变量x，y，如果看成y随x的变化而变化，那么x称为自变量，y称为因变量；如果看成x随y的变化而变化，那么y称为自变量，x称为因变量。第二，函数定义的核心是“一一对应”，即给定一个自变量x的值就有唯一确定的因变量y的值和它对应，这样的对应可以是“一个自变量对应一个因变量”（简称“一对一”），也可以是“几个自变量对应一个因变量”（简称“多对一”），但不可以是“一个自变量对应多个因变量”（简称“一对多”），下面以图1来阐述这样的对应关系（其中x是自变量，y是因变量）：

“一对一”“多对一”“一对多”

是函数是函数不是函数

图1

下面举4个例子帮助大家理解函数的概念：

例1一根弹簧的长度为10cm，当弹簧受到拉力F（F在一定的范围内）时，弹簧的长度用y表示，测得有关的数据如表1：

表1

拉力F（kg）

…

弹簧的长度y（c）

…

弹簧的长度y是拉力F的函数吗？

　　分析：从表格中可读出信息，当拉力分别是1kg、2kg、3kg、4kg时，都唯一对应了一个弹簧的长度y，满足函数的定义，所以弹簧的长度y是拉力F的函数。一般地，以表格形式给出的函数，第一行是自变量的值，第二行是因变量的值。

　　例2图2是某地区一年内每个月的最高气温和最低气温图。

图2

图2描述了哪些变量之间的关系？你能将其中某个变量看成另一个变量的函数吗？

　　分析：图中给出了三个变量，最高气温、最低气温和月份，从图中可以直观地看出最高气温和最低气温随着月份的变化而变化，而且每月的最高气温和最低气温都是唯一的，所以最高气温（或最低气温）是月份的函数。

　　我们还可以发现7月和8月的最高气温相同，也就是说两个自变量对应了同一因变量。

　　一般地，以图象形式给出的函数，横轴表示自变量，纵轴表示因变量。

　　例3下列变量之间的关系是不是函数关系？说明理由。

　　（1）圆的面积S与半径r之间的关系；

　　（2）汽车以70千米/时的速度行驶，它驶过的路程s（千米）和所用时间t（时）之间的关系；

　　（3）等腰三角形的面积是，它的底边长y（厘米）和底边上的高x（厘米）之间的关系。

　　分析：（1）圆的面积S与半径r之间的关系式是，当半径确定时，圆的面积S也唯一确定，所以圆的面积S与半径r之间的关系是函数关系。

　　（2）路程s（千米）和所用时间t（时）的关系式是，当时间t确定时，路程s也唯一确定，所以路程s（千米）和所用时间t（时）之间的关系是函数关系。

　　（3）底边长ycm和底边上的高xcm的关系式是，当底边上的高x确定时，底边长y也唯一确定，所以底边长ycm和底边上的高xcm之间的关系是函数关系。

　　一般地，以关系式形式给出的函数，等号左边是因变量，等号右边的未知数是自变量。

例4下列图象中，不能表示函数关系的是（）

　　分析：在上面四个图象中，A、C、D都可以表示函数关系，因为任意给定一个自变量x的值，都有唯一的一个y值与它相对应，但是B图中，任意给定一个自变量x的值，却有两个不同的y值与它对应，所以本题应选B。

　　〔问题2.9〕设m是一个小于2006的四位数，已知存在正整数n，使得m－n为质数，且mn是一个完全平方数，求满足条件的所有四位数m。

幂函数

　　幂函数的一般形式为y=x^a。

　　如果a取非零的有理数是比较容易理解的，不过初学者对于a取无理数，则不太容易理解，在我们的课程里，不要求掌握如何理解指数为无理数的问题，因为这涉及到实数连续统的极为深刻的知识。因此我们只要接受它作为一个已知事实即可。

对于a的取值为非零有理数，有必要分成几种情况来讨论各自的特性：

　　首先我们知道如果a=p/q，q和p都是整数，则x^(p/q)=q次根号（x的p次方），如果q是奇数，函数的定义域是R，如果q是偶数，函数的定义域是[0,＋∞）。当指数n是负整数时，设a=-k，则x=1/(x^k)，显然x≠0，函数的定义域是（－∞，0)∪(0,＋∞).因此可以看到x所受到的限制来源于两点，一是有可能作为分母而不能是0，一是有可能在偶数次的根号下而不能为负数，那么我们就可以知道：

　　排除了为0与负数两种可能，即对于x>0，则a可以是任意实数；

　　排除了为0这种可能，即对于x<0和x>0的所有实数，q不能是偶数；

　　排除了为负数这种可能，即对于x为大于且等于0的所有实数，a就不能是负数。

总结起来，就可以得到当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情况如下：

　　如果a为任意实数，则函数的定义域为大于0的所有实数；

　　如果a为负数，则x肯定不能为0，不过这时函数的定义域还必须根据q的奇偶性来确定，即如果同时q为偶数，则x不能小于0，这时函数的定义域为大于0的所有实数；如果同时q为奇数，则函数的定义域为不等于0的所有实数。

　　在x大于0时，函数的值域总是大于0的实数。

　　在x小于0时，则只有同时q为奇数，函数的值域为非零的实数。

　　而只有a为正数，0才进入函数的值域。

由于x大于0是对a的任意取值都有意义的，因此下面给出幂函数在第一象限的各自情况.

可以看到：

　　（1）所有的图形都通过（1，1）这点。