如何使用单纯形法求解线性规划？

导读：" 如何使用单纯形法求解线性规划？1.介绍线性规划的概念：线性规划是一种数学优化方法，用于求解一系列线性约束条件下的最优解。它常用于经济、工程和运筹学等领域，以帮助做出最佳决策。2.解释单纯形法的基本原理：单纯形法是一种常用的求解线性规划问题的算法。它通过不断迭"

如何使用单纯形法求解线性规划？

　　1.介绍线性规划的概念：线性规划是一种数学优化方法，用于求解一系列线性约束条件下的最优解。它常用于经济、工程和运筹学等领域，以帮助做出最佳决策。

　　2.解释单纯形法的基本原理：单纯形法是一种常用的求解线性规划问题的算法。

　　它通过不断迭代的方式，逐步靠近最优解。

　　该方法基于一种称为“单纯形表”的数据结构，通过变换表中的基本变量和非基本变量，不断寻找更优的解。

3.如何使用单纯形法求解线性规划问题：

　　a.确定问题的目标函数和约束条件：首先，需要明确线性规划问题的目标函数和约束条件。目标函数是需要最小化或最大化的线性表达式，约束条件是问题的限制条件。

　　b.将问题转化为标准形式：为了应用单纯形法，需要将线性规划问题转化为标准形式。标准形式要求目标函数为最大化形式，约束条件为等式形式，并且变量均为非负数。

　　c.构建初始单纯形表：根据标准形式的问题，可以构建初始的单纯形表。表中包括基本变量和非基本变量，以及它们的系数和约束条件。

　　d.进行单纯形法迭代：通过迭代的方式，不断更新单纯形表，直到找到最优解或者确定问题为无界或无解。迭代过程中，需要选择一个离最优解更近的解，并进行更新。

　　e.检查最优解和可行性：当迭代结束后，需要检查最终得到的解是否满足约束条件，并确定是否为最优解。

　　4.引入实际案例说明单纯形法的应用：举例说明单纯形法在实际问题中的应用。例如，在生产计划中，使用单纯形法可以帮助确定最佳的生产数量，以最大化利润或最小化成本。

　　5.总结单纯形法的优缺点：总结单纯形法的优点和局限性。

　　单纯形法在求解小规模问题时效果较好，但对于大规模问题，可能需要较长的计算时间。

　　此外，单纯形法可能陷入循环或无解的情况。

　　通过以上步骤，可以详细介绍如何使用单纯形法求解线性规划问题。读者可以根据这些步骤和原理，应用单纯形法解决自己的线性规划问题，并根据实际情况进行调整和优化。

用单纯形法求解线性规划问题

1.

　　单纯形法是解线性规划问题的一粗迅嫌个重要方法。

　　其原理的基本框架为:第一步:将LP线性规划变标准型,确定一个初始可行解(顶点)。

　　第二步:对初始基可行解最优性判别,若最优,停止;否则转下一步。

　　第三步:从初...。

2.

　　用程序进行运算前,要将目标函数及约束方程变成标准形式。于非标准形式须作如下变昌高换:a)目标函数为极小值minz=CX时,转...

3.

　　对于标准形式的线性规划问题。

　　用单纯形法计算步骤的框图。

　　线性规划问题如下:maxz=...。

　　如果有兴趣可以私岩手聊我，我可以在线为您解答。

线性规划之单纯形法

　　单纯形法应用在线性规划的标准模型上，任何一个线性规划的一般形式都可以化为标准模型。

线性规划模型的一般形式为：

　　把它转换为标准型是要求所有的约束都是等式约束，且所有的决策变量非负。

如下面的形式：

举个例子：

那么很容易就可以写出这个线性规划问题的数学模型：

再重复一遍，线性规划的标准型必为以下形式：

对于标准型我们有两个基本假设：

　　1.系数矩阵A的行向量线性无关。

　　2.系数矩阵A的列数大于其行数，即n>m。

　　因为如果n

　　所以，必有n>m。

回到刚才那个例子，我们可以将找个标准型写为如下形式：

　　这个例子m=3,n=5。

　　那么我们可以用三个变量表示所有的五个变量，这三个变量我们称之为基变量。

　　上图中，x3,x4,x5的系数是一个单位阵。

　　我们把这种形式的等式约束称为典式。

　　观察这个典式，我们可以很容易的看出其并橡一个基本可行解：(0,0,15,24,5)T，即非基变量等于0，基变量等于等式右边的常数。这个解，我们可以把它想象成基本可行解区域的一个顶点，我们知道最优解也在顶点上，那么我们只要沿着边界找这个最优顶点就可以了。

　　对于顶点(0,0,15,24,5)T，它的x3,x4,x5是基变量，那么与该顶点相邻的其他顶点的基变量有什么关系呢？事实上，与之相邻的顶点的所有基变量中只有一个基变量发生了变化。

　　这是可以验证的。

　　所以，接下来的工作就是从x1,x2中选一个非基变量进基成为基变量，从x3,x4,x5中选一个基变量出基成为非基变量。

那么问题来了，我们怎么选择进基变量和出基变量？

　　假设我们想要x2进基，那么根据基本可行解的表示式，我们必须通过初等行变换的形式让x2只出现在一个等式约束中，就是把x2的系数变成(1,0,0)T或(0,1,0)T或(0,0,1)T的形式。

假设我们把x2变成(0,0,1)T的形式，初等行变换后得到：

现在对于例子

我们得到了两个基本可行解X1=(0,0,15,24,5)T,X2=(0,3,0,18,2)T，记目标函数f(X)=2x1 x2 0x3 0x4 0x5

则f(X1)=0,f(X2)=3

那么我们怎么找到最优解呢？

我们知道X2=(0,3,0,18,2)T的约束的表示式为：

发现什么没有？

　　对于可行解X2=(0,3,0,18,2)T，x1，x3是非基变量啊，非基变量是0啊。

　　但是，我们下一步不是选择进基变量吗，进基变量不是从非基变量里选吗，我们选x1啊，为啥？x1的系数是正数2啊！我们这个例子是求z的最大值，如果x1进基，那么必然会让f(X)增大，因为我们的决策变量都是正数，正数乘正数还绝轮旁是正数，增量肯定是大于0的。

　　我们看到x3的系数是-0.2，如果让x3进基的话，增量肯定是小桐神于0的。

　　如果x1,x3的系数都大于0怎么办？那随便选啊。

如果x1，x3的系数都小于0怎么办？哈哈，有人可能就意识到了，非基变量的系数都小于0，选谁进基都会造成f(X)变小，我们不是求最大吗？那我们谁也不选啊，这个问题已经结束了，我们已经找到最优解了！

　　所以，选择进基变量的问题，以及判断找到最优解的问题就都解决了。

　　我们一般使用单纯形表来直观表示这个过程。

还是可行解X2=(0,3,0,18,2)T，它对应的单纯形表如下：

　　最左边一列是基变量，最右边一列是约束右边的常数项，中间一坨是决策变量的系数。

　　最下边一行是目标函数z=2x1 x2 0x3 0x4 0x5。

　　最下面一行决策变量的系数我们称之为检验数。

我们通过行变换将最后一行的基变量前面系数变成0，就得到下面的单纯形表：

从这个表中我们可以得到以下信息：

然后通过刚才的方法让x3进基，得到新的基本可行解的单纯形表：

从这个表我们可以得知：

　　至此，我们已经得到该问题的最优解X4。

　　我们知道，对于一个基本可行解，一般情况下它的基变量是大于0，非基变量等于0。

　　退化情况是，我们有一个基变量也等于0。

　　那么，这个基本可行解就会对应于多个可行基阵。

举个例子：

X=（3，3，0，0，0）T是该问题的可行解

　　我们可以令x3,x4为非基变量，也可以令x3,x5或x4,x5为非基变量。

　　退化情况存在的问题在于，经过一次进出基迭代后得到的是同一个基本可行解，因此有可能出现迭代算法在一个基本可行解的几个基矩阵之间循环不止的情况。

　　所以，保证单纯形法收敛的充分条件是：在迭代过程中产生的每个基本可行解的基变量数值都严格大于0。

在迭代过程中，如果某一个决策变量的系数都小于0了，这代表什么？

举例：

　　如上图，我们可以把x2放在等式右边，看出什么没有？x2可以趋于无穷大。

　　如上图，非基变量x4的检验数为0了，根据最优性条件，让其进基并不能继续优化目标函数值。

　　但是，x4进基后还是会得到一个基本可行解，且目标函数值与当前结果相同。

　　这意味这什么？。

　　目标不能再优化，但是又有不同的基本可行解，啥意思？说明该问题有无穷多个最优解。

　　所以，对于求max的线性规划问题，如果所有检验数均满足<=0，则说明已经得到了最优解，若此时某非基变量的检验数=0，则说明该优化问题有无穷多最优解。

　　单纯形法是从一个初始的基本可行解开始的，出基入基，知道找到最优可行解。

问题是，我们怎么得到那个初始的基本可行解啊？

最基本的方法是添加人工变量

假设原问题的约束是这样的：

x1 2x2 3x3=1

2x x3=2

那么我们再加两个变量x4,x5，把约束变成这样：

x1 2x2 3x3 x4=1

2x x3 x5=2

　　我们就把约束变成了典式，可以直接得到一个基本可行解(0,0,0,1,2)T，找个基本可行解的基变量是x4,x5，那么接下来的工作就是通过出基入基把x4,x5都变成非基变量，这样它们的值就可以为0，从而得到原问题的可行解。

现在有个问题，如果在最优表中，基变量中仍含有人工变量，这说明啥？

　　这说明，原问题根本就无解。

线性规划问题求解

　　这是一个标准的线性规划问题，可以使用单纯形法进行求解。下面是解题过程：

首先将目标函数和约束条件转化为矩阵形式：

目标含冲函数矩阵：C=[0.10.150.20.250.3]

约束条件矩阵：A=[11111;0.150.20.250.30.35]

将约束条件中的等式x1 x2 x3 x4 x5=100转化为不等式，得到：

x1 x2 x3 x4 x5≤100

x1 x2 x3 x4 x5≥100

将不等式转化为标准形式，得到：

x1 x2 x3 x4 x5 s1=100

0.15x1 0.2x2 0.25x3 0.3x4 0.35x5 s2=0.3

　　其中s1和s2分别为人工变量，用来将不等式转化为等式。

将约束条件和目标函数写成标准形式：

目标函数：z=0.1x1 0.15x2 0.2x3 0.25x4 0.3x5 0s1 0s2

约束条件：

x1 x2 x3 x4 x5 s1=100

0.15x1 0.2x2 0.25x3 0.3x4 0.35x5 s2=0.3

x1≥0，x2≥0，x3≥0，x4≥0，x5≥0

s1≥0，s2≥0

初始化单纯形表格：

基变量x1x2x3x4x5s1s2右端项

s11111110100

s20.150.20.250.30.35010.3

z0.10.150.20.250.3000

选取进入变量和离开变量：

　　由于目标函数中的系数谈碰歼都为正数，所以选取进入变量时吵吵应该选择系数最大的变量，即x5。然后根据约束条件和单纯形表格计算出各个变量的单位贡献，得到：

x1:0.1/1=0.1

x2:0.15/1=0.15

x3:0.2/1=0.2

x4:0.25/1=0.25

x5:0.3/1=0.3

s1:0/1=0

s2:0/0.35=0

　　由于x5的单位贡献最大，所以将x5作为进入变量，然后选取离开变量。根据单纯形表格计算出各个变量的限制系数，得到：

x1:1/0.35=2.857

x2:1/0.35=2.857

x3:1/0.35=2.857

x4:1/0.35=2.857

s1:1/0.35=2.857

s2:1/0.35=2.857

　　由于s2的限制系数最小且大于0，所以将s2作为离开变量。

进行高斯－约旦消元法计算：

基变量x1x2x3x4x5s1s2右端项

s10.350.350.350.350

用单纯形法求解线性规划问题 maxZ=2x1-x2 x3,

　　偶形式：2y1-y2-y3=-23y1-2y2-3y3=-4求max-24y1 10y2 15y3优解y1=0,y2=2,y3=0优值20设原始问题min{cx|Ax=bx≥0}则其偶问题max{yb|yA≤c}。

　　原问题引入人工变量x4，剩余变量x5，人工变量x6。

　　maxz=2x1 3x2-5x3-mx4-mx6、x1 x2 x3 x4=7，2x1-5x2 x3-x5 x6=10,x1,x2,x3，x4，x5，x6≥0用人工变量法求解。

扩展资料：

1、线性规划简介：

线性规划步骤：

　　（1）列出铅氏约束条件及目标函数。

　　（2）画出约束条件所山缓表示的可行域。

　　（3）在可行域内求目标函数的最优解及最优值。

2、标准型：

　　描述线性规划问题的常用和最直观形式是标准型。标准型包括以下三个部分：

一个需要极大化的线性函数:

以下形式的问题约束：

和非负变量：

　　其他类型的问题，例如极小化问题，不同形式的约束问题，和有负变量的问题，都可以改写成其等价问题的标准型。

3、模型建立、

　　从实际问题中建立数学模型一般有以下三个步骤；

　　1、根据影响所要达到目的的因素找到决策变量。

　　2、由决策变量和所在达到目的之间的函数关系确定目标函数。

线性规划难题解法：

　　3、由决策变量所受的限制条件确定决策变量所要满足的约束条件。

所建立的数学模型具有以下特点：

　　1、每个模型都有若干个决策变量（x1，x2，x3……，xn），其中n为决策变量个数。决策变量的一组值表示一种方案，同时决策变量一般是非负的。

　　2、目标函数是决策变量的线性函数，根据具体问题可以是最大化（max）或最小化（min），二者统称为最优化（opt）。

　　3、约束条件也是决策变量的线性函数。

　　当我们得到的数学模型的目标函数为线性函数，约束条件为线性等式或不等式时称此数学模型为线性规划模型。

4、解法：

　　求解线性规划问题的基本方法是单纯形法，已有单纯形法的标准软件，可在电子计算机上求解约束条件和决策变量数达10000个以上的线性规划问题。

　　为了提高解题速度，又有改进单纯形法、对偶单纯形法、原始对偶方法、分解算法和各种多项式时间算法。对于只有两个变量的简单的线性规划问题，也可采用图解法求解。

　　这种方法仅适用于只有两个变量的线性规划问题。

　　它的特点是直观而易于理解，但实用价值不大。

　　通过图解法求解可以理解线性规划的一些基本概念。

图解法解线性规划问题：

　　对于一般线性规划问题：Minz=CX、S.T、AX=b、X>=0其中A为一个m*n矩阵。

　　若A行满秩、则可槐唯散以找到基矩阵B，并寻找初始基解。

　　用N表示对应于B的非基矩阵。

　　则规划问题1可化为：。

规划问题2：

　　Minz=CBXB CNXN。

线性规划法解题

　　S.T.BXB NXN=b(1)、XB>=0,XN>=0(2)(1)两边同乘于B-1，得XB B-1NXN=B-1b。

同时，由上式得XB=B-1b-B-1NXN，也代入目标函数，问题可以继续化为：

规划问题3：

　　Minz=CBB-1b (CN-CBB-1N)XN、XB B-1NXN=B-1b(1)、XB>=0,XN>=0(2)。

令N:=B-1N，b:=B-1b，ζ=CBB-1b，σ=CN-CBB-1N，则上述问题化为规划问题形式4：

　　Minz=ζ σXN、XB NXN=b(1)、XB>=0,XN>=0(2)。

　　在上述变换中，若能找到规划问题形式4，使得b>=0，称该形式为初始基解形式。

　　上述的变换相当于对整个扩展矩阵（包含C及A）乘以增广矩阵。所以重在选择B，从而找出对应的CB。

若存在初始基解：若σ>=0

　　则z>=ζ。

　　同时，令XN=0，XB=b，这是一个可行解，且此时z=ζ，即达到最优值。

　　所以，此时可以得到最优解。

若不成立：

　　可以采用单纯形表变换。

　　σ中存在分量<0。

　　这些负分量对应的决策变量编号中，最小的为j。

　　N中与j对应的列向量为Pj。

　　若Pj<=0不成立。

　　则Pj至少存在一个分量ai，j为正。在规划问题4的约束条件：

　　（1）的两边乘以矩阵T。

　　则变换后，决策变量xj成为基变量，替换掉原来的那个基变量。为使得Tb>=0，且TPj=ei（其中，ei表示第i个单位向量），需要：

　　lai，j>0。

　　lβq βi*(-aq,j/ai,j)>=0，其中q!=i。即βq>=βi/ai,j*aq,j。

　　n若aq,j<=0，上式一定成立。

　　n若aq,j>0，则需要βq/aq,j>=βi/ai,j。因此，要选择i使得βi/ai,j最小。

　　如果这种方法确定了多个下标，选择下标最小的一个。

　　转换后得到规划问题4的形式，继续对σ进行判断。由于基解是有限个，因此，一定可以在有限步跳出该循环。

　　若对于每一个i，ai,j<=0最优值无解。

　　若不能寻找到初始基解无解。

　　若A不是行满秩化简直到A行满秩，转到若A行满秩。

单纯形法来解决线性规划问题 目标函数maxZ=6x1 4x2 约束条件:2x1 3x2...

首先标准化：

添加松弛变量x3,x4（为了让你埋扮看得更规则,添加了1,0的系数）：

max:z=6x1 4x2

subjectto:2x1 3x2 1x3 0x4=100

4x1 2x2 0x3 1x4=120

x1,x2,x3,x4>=0

得到单纯形增广矩阵为：1,-6,-4,0,0,0

0,2,3,1,0,100

0,4,2,0,1,120

然后进行矩阵运算,化为:1,0,0,1/2,5/4,200

0,1,0,-1/4,3/8,20

0,0,1,1/2,-1/4,20

（因为此题很简单,直接把矩阵前三列三行化为单位矩阵就可,不用搞罩液辩物缺什么基解,检验数,进基离基什么的.具体原理请参阅教材）.

然后得到最小值:200,x1=20,x2=20（矩阵最后一列）