高中数学：求几道关于直线与圆的方程的趣味题

作者：王博晨时间：2023-07-23 13:37:54

导读：" 高中数学是学生们学习的一门重要学科，其中涉及了很多有趣的数学问题。本文将围绕直线与圆的方程给出几道趣味题，并提供解决方案。1.如何求直线与圆的交点？-给出直线的方程和圆的方程；-将直线的方程代入圆的方程，得到一个关于变量的方程；-解方程，找出交点的坐标。2."

　　高中数学是学生们学习的一门重要学科，其中涉及了很多有趣的数学问题。本文将围绕直线与圆的方程给出几道趣味题，并提供解决方案。

1.如何求直线与圆的交点？

　　-给出直线的方程和圆的方程；

　　-将直线的方程代入圆的方程，得到一个关于变量的方程；

　　-解方程，找出交点的坐标。

2.如何确定直线与圆是否相切？

　　-给出直线的方程和圆的方程；

　　-将直线的方程代入圆的方程，得到一个关于变量的方程；

　　-判断该方程是否有唯一解，若有，则直线与圆相切；若无解，则直线与圆相离；若有两个解，则直线与圆相交。

3.如何确定直线与圆是否相交？

　　-给出直线的方程和圆的方程；

　　-将直线的方程代入圆的方程，得到一个关于变量的方程；

　　-判断该方程是否有解，若有，则直线与圆相交；若无解，则直线与圆相离。

4.如何确定直线与圆的切线方程？

　　-给出直线的方程和圆的方程；

　　-将直线的方程代入圆的方程，得到一个关于变量的方程；

　　-将该方程化简为二次方程，判断其判别式的值；

　　-若判别式为0，则直线为切线，求出切点的坐标；

　　-根据切点和直线的斜率求出切线的方程。

5.如何求直线与圆的切点？

　　-给出直线的方程和圆的方程；

　　-将直线的方程代入圆的方程，得到一个关于变量的方程；

　　-化简该方程为二次方程，求出判别式的值；

　　-若判别式大于0，则方程有两个实数解，即直线与圆相交，求出切点的坐标。

　　通过以上的解决方案，我们可以轻松地解决关于直线与圆的方程的趣味题。

　　通过这些问题的解决，学生们可以进一步理解直线与圆的关系，提高数学解题的能力。

　　高中数学不仅仅是学习知识，更是培养思维能力的过程，帮助学生们发展创造性思维和解决问题的能力。

高分求高一数学题直线与圆的方程

一、解：x2 y2 x-6y m=0

(x 1/2)^2 (y-3)^2=37/4-m>0,

解得：m<37/4

变式1：圆方程与直线方程联立，

得：5y2-20y 12 m=0

根与系数关系可得

y1 y2=4y1y2=(12 m)/5①

则x1x2=9-6(y1 y2) 4y1y2=-15 4(12 m)/5②

OP⊥OQ,所以x1x2 y1y2=0

由①、②式可得

m=3

则圆方程x2＋y2＋x－6y＋3＝0

(x 1/2)2 （y-3)2=25/4

所以坐标(-1/2,3)，半径5/2

变式2：曲樱困线为圆，整理得（x 1)^2 (y-3)^2=9

圆心在（-1，3），半径为3

直线过（-4，0）（当y=0时）

因为两点关于直线对称，所以，直线过圆心

将圆心坐标代入直线函数

-1 3m 4=0

m=-1

直线函数为x-y 4=0，斜率为1

PQ垂直此直线，所以斜率为-1

设PQ中点横坐标为a则，纵坐标为a 4

到O点的距离为根号（a^2 (a 4)^2)=根号(2a^2 8a 16)

到P和Q点的距离为根号（9-(a 1)^2-(a 4-3)^2)=根号(-2a^2-4a 7)

所以4a^2 12a 9=0

a=-3/2

PQ中点坐标为（-3/2,5/2)

PQ直线为(y-5/2)/(x 3/2)=-1

整理得x y-4=0

变式题3：解：(1)曲线C方程化为(x-1)2 (y-2)2=5-m

　　显然当5-m>0，即m<5时曲线C是圆。

(2)设M，N坐标分别为(x1,y1)，(x2,y2)，

把x 2y-4=0，即y=2-(x/2)代入圆C方程，得

x2 (2-x/2)2-2x-4(2-x/2) m=0，整理得

5x2-8x 4(m-4)=0

该方程有实根，即Δ=(-8)2-4*5*4(m-4)=-16(5m-24)>0

解得m<4.8

由韦达定理得x1 x2=8/5,x1x2=4(m-4)/5

由OM⊥ON，得饥返(x1,y1)*(x2,y2)=0(向量OM与向量ON内积为0)，即

x1x2 y1y2=0，而

y1y2=(2-x1/2)(2-x2/2)=4-(x1 x2) x1x2/4

=4-8/5 (m-4)/5=(m 8)/5，故

x1x2 y1y2=4(m-4)/5 (m 8)/5=(5m-8)/5=0

　　解得m=1.6<4.8，故烂颂饥m的值为1.6。

　　(3)以MN为直径，且OM⊥ON，故所求圆过原点。

M，N中点O`坐标：((x1 x2)/2,(y1 y2)/2)，即(4/5,2-(4/5)/2)

　　亦即(4/5,8/5)，此即为所求圆的圆心，O`O即为半径。

O`O2=(4/5-0)2 (8/5-0)2=16/5

故以MN为直径圆的方程为(x-4/5)2 (y-8/5)2=16/5

二、

　　（1）证明：圆与直线恒有交点可以将两个方程转化为x的方程或者y的方程然后看其△值（b*b-4ac）来判断，只要△值恒大于0就可以判断恒有2个交点，中学知识；

　　x2 （y-1）2=5；

　　mx-y 1-m=0；

可以得到关于x的方程(m^2 1)x^2-2m^2x m^2-5=0;

　　所以△=b*b-4ac=4*（4m*m 5）；

　　无论m∈R为何值，显然△恒大于0；

　　所以得证直线l与圆C总有两个不同的交点AB；

（2）设A（x1,y1)B(x2,y2)

l:m(x-1) 1

x1^2 (y1-1)^2=5

x2^2 (y2-1)^2=5

所以(x1 x2)(x1-x2) (y1 y2-2)(y1-y2)=0

设M（x,y)

则2x=x1 x2,2y=y1 y2

所以2x=(2y-2)m=0

又m=(y-1)/(x-1)

2x=(2y-2)(y-1)/(x-1)

整理得x^2 y^2-x-2y 1=0

　　（3）直线l：mx-y 1-m=0，y-1=m（x-1），直线l过定点（1,1）。

　　作平行于x轴，且过圆心（0,1）的直线，交圆于MN两点，显然，PM=（√5）-1，PN=（√5） 1，由弦割线定理，PM/PA=PB/PN，PA·PB=PA·2PA=2PA2=PM·PN=【（√5）-1】·【（√5） 1】=5-1=4，∴PA2=2。

∵PA2=（x-1）2 （y-1）2=2，

又因为A点在圆上，A点坐标满足圆方程x2 （y-1）2=5，联立方程组，解得，

x=2，

代入解得，y=0或2，

　　∴A（2,0）或A（2,2）。

由两点确定直线，得，

　　y-1=【（0-1）/（2-1）】·（x-1）=-（x-1），得y x-2=0直线一条；

　　y-1=【（2-1）/（2-1）】·（x-1）=x-1，得，y=x另一条直线。【解答完毕】

高一数学直线方程和圆的方程的问题(一个算术题,一个应用题)

第一题:(1)设B(m,0),则D(m/2,1/2)代入CD：2x-2y-1=0中得m-1-1=0∴m=2∴B(2,0),D(1,1/2)由已掘培神知得C点的纵坐标是1，令y=1,由2x-2y-1=0得x=3/2∴C(3/2,1)(2)过P点的半径所在直线的斜率为-1，则方程为y=-(x-m)AB的垂直平中咐分线为y=2x-3/2联立得圆心为M（m/3 1/2,2m/3-1/2)又圆心M的横坐标为（m 2)/2∴m/3 1/2=（m 2)/2∴m=-3∴M(-1/判亏2,-5/2)∴半径=MA=5√2/2∴圆的方程为（x 1/2) （y 5/2)=25/2第二题:两人所走的轨迹构成了一个直角三角形设B走x千米，设一直角边长y斜边长3x-y可列出方程组为：3（3x-y)=xyx^2 y^2=(3x-y)^2解得x=15/4(千米）答：两人在正北方向距村落中心15/4千米处相遇希望对你有帮助！望采纳！谢谢你！新春快乐！~~~~~

希望采纳